高等數學函數與極限
函數在某一點連續必定在該點有極限(且這個極限就是該點的函數值)但反過來不一定，因為f(x)在某一點有極限時，在該點並不一點有定義，所以不一定連續。
函數在某一點連續也必定意味著函數在該點附近的任意一個有定義的去心鄰域內有界，反過來不一定，即有界不一定連續。
函數在某個區間內連續則必定在該區間上可積，但反過來不一定，例如著名的黎曼函數，在[0，1]上的所有有理點(除了0)都不連續，但它確是可積的。
幾何含義
函數與不等式和方程存在聯系（初等函數）。令函數值等於零，從幾何角度看，對應的自變數的值就是圖像與X軸的交點的橫坐標；從代數角度看，對應的自變數是方程的解。另外，把函數的表達式（無表達式的函數除外）中的「=」換成「<」或「>」，再把「Y」換成其它代數式，函數就變成了不等式，可以求自變數的范圍。
⑵ 高等數學函數極限的性質
函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。
存在准則
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。
1.夾逼定理：（1）當(這是的去心鄰域，有個符號打不出）時，有成立
（2）,那麼，f(x)極限存在，且等於A
不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。
2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。
3.柯西收斂准則
數列{Xn}收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n>N時，且m≠n，有。我們把滿足該條件的{Xn}稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列{Xn}收斂，當且僅當它是一個柯西序列。
方法
①利用函數連續性：
（就是直接將趨向值帶入函數自變數中，此時要要求分母不能為0）
②恆等變形
當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個小方法解決：
第一：因式分解，通過約分使分母不會為零。
第二：若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。
第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的，如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變數的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）
當然還會有其他的變形方式，需要通過練習來熟練。
③通過已知極限
特別是兩個重要極限需要牢記。
④採用洛必達法則求極限
洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。
洛必達法則：符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。
⑶ 高等數學函數極限定義
這里其實包含了趨近於這個概念。考慮兩類函數，
第一類在x0附近函數有波動，那麼版當ε接近於0的時候，δ也權會隨之接近於0，此時滿足條件|x-x0|<δ的x也會接近於x0
第二類在x0附近函數沒有波動（例如常函數），雖然當ε接近於0的時候，δ不會隨之接近於0，但是既然對於滿足條件|x-x0|<δ的x都有函數值接近於A，那麼顯然當x趨近於x0時函數值也趨近於A
⑷ 高等數學 函數極限的定義
函數極限中來的δ重在存在性，並自且δ是隨著ε變化的，而ε是任意小的一個正數，所以δ本身就具有常量與變數的雙重性。變數性是指它隨任意小的正數ε發生變化，常量性是ε一旦給定了一個值，那麼相應的一定會存在我們所需要的一個δ（當然δ是有無窮多個，因為一旦找到了一個，所有比它小的正數也完全符合要求）
所以
1、「函數的極限中，左極限右極限的定義域的δ必須相等嗎」，答案是：沒有必要一定相等，「存在」即可，管它具體等於多少呢
2、不需要考核δ>6的情況，因為δ已經找到
⑸ 高數中關於函數極限的法則
極限是高等數學的基礎，要學清楚。
設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函數，a∈R.如果對於任意給定的ε>0，存在正數X，使得對於適合不等式x>X的一切x，所對應的函數值f(x)都滿足不等式. │f(x)-A│<ε , 則稱數A為函數f(x)當x→+∞時的極限，記作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞時極限為y=0 函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。 極限符號可記為lim。
函數極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x→Xo 的極限為例，f(x) 在點Xo 以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε ，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。 問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。 函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若極限 存在，則在該點的極限是唯一的）
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。 1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A 不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。 2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。 在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。 3.柯西准則 數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立。
⑹ 高數函數的極限是什麼
函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。
在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。
⑺ 高等數學函數極限
（5）當x>1時，右極限=(x-1)/(x-1)=1
當x<1時，左極限=(1-x)/(x-1)=-1
因為左右極限不相等，所以原極限不存在
2、當x>0時，右極限=arctan(+∞)=π/2
當x<0時，左極限=arctan(-∞)=-π/2
因為左右極限不相等，所以原極限不存在
⑻ 高等數學函數求極限
分析：基本題，你的概念太差了，一點書都沒看，只是記了一下公式。以下詳細解答你的疑惑
答：
1、求極限首要想到用洛必達法則，但是洛必達法則的條件是：必須是∞/∞或者0/0型，而所求極限的形式為：0^無窮大型，顯然不能直接求；
2、對於指數式，有一個很簡單的變換是：x=e^(lnx)（初中內容，從這里也可以看出，你數學一直不好，基本上從來不看書不理解，只是記公式！）因此：
y=[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)可以變成：
y=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[e^(lnx/x) - 1]/lnx}
原極限
=lim(x→+∞)[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)
=lim(x→+∞)e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}
=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
2、
分子→(洛必達) [e^(lnx/x)]·(lnx/x)'/[e^(lnx/x) - 1]
=[e^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]/[e^(lnx/x) - 1]
分母→(洛必達) 1/x
原分式=分子/分母
=[xe^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]'/[e^(lnx/x) - 1]
上式中：根據等價無窮小 e^x -1 ～x，因此：e^(lnx/x) - 1 ～lnx/x
而lim(x→+∞)lnx/x =lim(x→+∞) (1/x)/1 =lim(x→+∞) 1/x =0
因此：
lim(x→+∞)e^(lnx/x)=e^0 = 1
原分式
=lim(x→+∞) x·[(1-lnx)/x²]'/(lnx/x)
=lim(x→+∞)(1-lnx) / (lnx)
=lim(x→+∞) (1/lnx) - 1
=-1
原式= e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
=e^(-1)
=1/e
⑼ 高等數學函數極限計算
x--->0+時sinx等價於x,bcosx-1--->b-1,e^x+a--->1+a,
所以x(b-1)/(1+a)--->1/3,
1+a--->0,a=-1,
e^x-1等價於x,
所以b-1=1/3,b=4/3.