高中數學奧賽試題

A. 抽屜原理-高中數學奧賽題-49個學生做3道題

3*(7-1)=18(種),說明有18種不同的得分,而有49個學生,肯定有每道題得分都相同的人.
如果你認為有點險,那就將兩個乘數都加1:(3+1)*7=28(種),還是夠.

B. 高中數學奧賽函數填空題

f(n+10)=n+5
f(n+5)=n+5+n-5=2n
f(1)=2

C. 高中數學奧賽題

分情況討論。 1. 五位數中，1，2，3三個數字其中一個出現3次，其餘兩個數字各出現1次。即AAABC這種模式。從5個數位里取兩個對BC做排列，剩餘的填A。A有3種可能。共有3*P(2,5)=60個。 2.五位數中,1,2,3三個數字其中兩個出現2次，剩餘一個數字出現1次。即AABBC這種模式。從5個數位里取1個填C，剩餘四個數位對AABB做排列。C有3種可能。共有 3*5*C(2,4)=90個。所以這樣的五位數共有150個。

D. 數學高中奧林匹克競賽試題

分別作以這三個圓為大圓的三個球，原來的三對外公切線現在為三個圓維的母線．此時三個圓維中每一個都正好放進兩個球．三個圓維頂點在三個球心所在在平面ɑ上。

又設想一平面β擱在三個球上與三個球都相切，從而也與三個圓錐相切，所以三個圓錐頂點必在β上，即三頂點在α、β的交線上，即三頂點共線．

E. 腦筋急轉彎之高中數學奧賽題

這里M、N分別代表一個二次曲線，一個圓心在Y軸上的單位圓。
這是我找的答案 你看看吧！A代表兩個圖形的交點集合。
可以先將M、N兩個函數聯起來解方程組，配方 ，得到a=5/4時，x^2=3/4,x有2個解，即圓剛好跟曲線相切。

1.作圖發現，a=1時，兩圖像除了兩交點外，還在原點相切，即有3個交點
所以|A|=3時，a=1;
2.A為空集，即M、N無交點，通過圖像易知，此時 a>5/4或a<-1。

F. 歷屆高中數學競賽試題和答案

二00四年全國高中數學聯合競賽（天津初賽）
（9月19日上午9：00～11：00）
一、選擇題（本題共6個小題，每小題5分滿分30分）
（1）若函數 的最大值為 ，最小值為 ，則 等於（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若 ，且 ，則下列各式中最大的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知數列 ， ， ， ， ，…，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等於它的前後兩項之和，則這個數列的前 項之和 等於（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知函數 的反函數是 ，且 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）正四棱錐 中，側棱與底面所成的角為 ，側面與底面所成的角為 ，側面等腰
三角形的底角為 ，相鄰兩側面所成的二面角為 ，則 、 、 、 的大小關系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）若對任意的長方體 ，都存在一個與 等高的長方體 ，使得 與 的側面積之比和體積之比都等於 ，則 的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）

二、填空題（本題共6個小題，每小題5分，滿分30分）
（7）若關於 的方程 只有一個實數解，則 的值等於 ．
（8）在 中，若 ， ，且最長的邊的長為 ，則最短的邊的的長等於 ．
（9）若正奇數 不能表示為三個不相等的合數之和，則滿足條件的 的最大值為 ．
（10）設 、 、 是直角三角形的三條邊長，且 ，其中 ， ，則 的值等於 ．
（11）連接正文體各個頂點的所有直線中，異面直線共有 對．
（12）如圖，以 、 為頂點作正 ，再以 和 的中點 為頂點作正 ，再以 和 的中點 為頂點作正 ，…，如此繼續下去．有如下結論：
①所作的正三角形的邊長構成公比為 的等比數列；
②每一個正三角形都有一個頂點在直線 （ ）上；
③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點 的坐標是 ；
④第 個正三角形的不在第 個正三角形邊上的頂點 的橫坐標是 ．
其中正確結論的序號是 （把你認為正確結論的序號都填上）．
三、解答題（本題共3小題，每小題20分，滿分60分）
（13）已知函數 （ ， ）的反函數是 ，而且函數 的圖象與函數 的圖象關於點 對稱．
（Ⅰ）求函數 的解析式；
（Ⅱ）若函數 在 上有意義，求 的取值范圍．
（14）設邊長為 的正 的邊 上有 等分點，沿點 到點 的方向，依次為 ， ，…， ，若 ，求證： ．

（15）已知 是等差數列， 為公差且不等於 ， 和 均為實數，它的前 項和記作 ，設集合 ， ，試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明．
（Ⅰ）若以集合 中的元素作為點的坐標，則這些點都在一條直線上；
（Ⅱ） 至多有一個元素；
（Ⅲ）當 時，一定有 ．

G. 一道高中數學奧賽題

子集中有0,則pk=0,可以不考慮
相當於求{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}的所有非空子集pk(1<=k<=1023)所有元素的乘積之和
除{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}之外任意一個非空子集都可以找到一個最小整數i∈pk,且-i不屬於pk
則集合{i,a1,a2,a3……,an}與{-i,a1,a2,a3……,an}相對應,它們乘積之和為0
除{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}之外的非空子集兩兩對應,使乘積之和為0
所以最後所有乘積之和就是{-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}的所有元素乘積
p1+p2+……+p2047=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)×1×2×3×4×5=120×120=14400

H. 歷屆高中數學競賽試題及答案

2011年全國高中數學聯賽江西省預賽
試 題

一、填空題（每小題10分，共 分）
、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．
、設數列 滿足: ,且對於其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ．
、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為 ．
、設 ，則函數 的最大值是 ．
、 ．
、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那麼， 周長的最小值是 ．
、滿足 的一組正整數 ．
、用 表示正整數 的各位數字之和，則 ．
二、解答題（共 題，合計 分）
、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值．

、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是
的中點， ，內切圓 分別與邊 相切於 ；證明： 三線共點．

、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被塗成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小於 的一個固定的正整數），一按滑鼠鍵，將會使這 個頂點「黑白顛倒」，即黑點變白，而白點變黑；
、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色；
、當 為偶數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論．

解 答

、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（註：也可直接列舉．）
、 ． 提示：由條件得，
，
所以
，
故 ，而 ；

；
於是
；
由此得
.

、 ．提示：設 ，則

，
直線 方程為
，
即 ，因為 ，則
，
即
，
代人方程得
，
於是點 在直線 上；
同理，若設 ，則 方程為
，
即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ．
、 ．提示：由

所以，
，
即
，
當 ，即 時取得等號．
、 ．提示：

．
、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，於是等腰 ， ，
，
即 ， ，
，
所以 ，由 ，則
．
、 ．提示：由於 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得
，
即
. ①
而 為偶數，則 為奇數，設 ，則
，
由①得，
， ②
則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為
，
即 ，於是 ；
若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解；
於是 是唯一解： ．
（另外，也可由 為偶數出發，使

為 的倍數，那麼 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．）

、 ．提示：添加自然數 ，這樣並不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對於每個 ，首位為 的「三位數」恰有 個： ，
這樣，所有三位數的首位數字和為
.
再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ，
又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知
．
今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在
中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此
；
其次，易算出， . 所以，
．
、由
，
即
，
平方得

所以

，
即
，
所以
．

、如圖，設 交於點 ，連 ，由於中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則
.
連 ，在 中，由於切線 ，所以
，
因此 三點共線，即有 三線共點．
、 證明：由於 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使
, ①
於是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶．
如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成：
，
令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數．
總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①，
, ②
現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其餘所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為「一輪操作」，由於每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色．
、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論：
如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑；
為此，採用賦值法：將白點改記為「 」，而黑點記為「 」，改變一次顏色，相當於將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當於乘了 個（偶數個） ，由於 ；
因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作後，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白．
但此時可以變成全黑，這是由於，對於偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次後，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其餘所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次後，點 的顏色不變，其餘所有 個頂點都改變了顏色；於是，經過上述 次操作後，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其餘所有 個點的顏色不變．
現將這樣的 次操作合並，稱為「一輪操作」；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點；
於是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作後，多邊形所有頂點都成為黑色．
同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為「 」，白點賦值為「 」，證法便完全相同）．