數學反演

1. 什麼是反演計算，在網上找了很長時間，沒有找到具體的解釋

我知道的反演是電工裡面邏輯函數計算的不是數學的。反演就是將邏輯函數表達式裡面所有的「•」換為「+」，所有的「+」換為「•」，所有的常量「0」換為「1」，所有的常量「1」換為「0」，所有的原變數換為反變數，所有的反變數變為原變數。
不知道能不能幫到你

2. 反演變換的數學反演變換（inversion)

正冪反演的性質：
1、反演中心不存在反演點。不共線的兩對反演點共圓，且此圓與反演基圓正交。與反演基圓正交的圓，其反象為原圓。
2、反演變換φ把通過反演中心O的任一條直線變成自身。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換下的不變圖形。（直線→直線）
3、反演變換φ把任一條不通過反演中心O的直線變成一個通過反演中心O的一個圓，而且這個圓周在點O的切線平行於該直線。（直線→圓）
4、反演變換φ把任一個通過反演中心O的圓周變成一個不通過反演中心O的一條直線，而且這條直線平行於該圓的過點O的切線。（圓→直線）
註：性質3和4互為逆命題。
5、反演變換φ把任一個不通過反演中心O的圓周變成不能過反演中心O的圓周。（圓→圓）
由於可以把直線看成圓周，上述性質2—5可經綜合為 反演變換把（廣義）圓周變成（廣義）圓周。這個定理常稱為反演變換的保圓性。
6、任何兩條直線在它們的交點A的夾角，等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
7、兩個相交圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
8、一條直線和一個圓周在交點A的夾角等於它們的反演圖形在相應點A′的夾角，但方向相反。
上述性質6—8可經綜合為 兩相交（廣義）圓周在交點A的夾角，等於它們的反演象（廣義）圓周在相應點A′的夾角，但方向相反。定理二稱為反演變換的反向保角性。
因反演變換具有保圓性和反向保角性而成為證題和作圖中的重要工具。由定理一、二易得：
9、正交兩圓其反象仍正交。
10、相切兩圓的反象仍相切，若切點恰是反演中心，則其反象為兩平行線。
負冪變換可以轉化為一次正冪變換和一次關於反演極反射的積來代替。

3. 什麼是反演變換

http://ke..com/view/1723162.htm
自己看

4. 初等幾何變換中的反演變換是什麼意思

將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對於幾何學的研究有重要作用。如果某種幾何變換的全體組成一個「群」,就有相應的幾何學,而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變數，就是相應幾何學的主要內容（見埃爾朗根綱領）。例如，研究圖形在全等變換群下的不變性與不變數，就是歐幾里得幾何學的主要內容。幾何變換為用近代數學方法討論初等幾何提供了廣闊的前景。幾何變換還在繪圖、力學、機械結構的設計、航空攝影測量、電路網路等方面有廣泛的應用。 反演變換 在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對任一異於O點的P點,將其變換成該射線OP上一點P┡,且使OP┡·OP=R,這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O 叫做反演中心或反演極，R 叫做反演半徑或反演冪 從定義可知，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位於圓內的點變成圓外的點,位於圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。 空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之也成立。 反演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。

5. 反演的數學上

反演(inversion)
反演在數學(某些幾何證明)上有很重要的作用.
把[1,+∞)放入(0,1],可以用取倒數的方法.這是一維上的反演.
二維上反演以一個特定的反演圓為基礎:圓心O為反演中心,圓半徑為常數k,把點P反演為點P'就是使得OP×OP'=k^2(即k為OP和OP'的幾何平均).
如點P在圓外可這樣作:過點P作圓的切線(兩條),兩個切點相連與OP連線交點就是點P'.
如點P在圓內就把這一過程反過來即可:連結OP,並且過點P作直線垂直於OP,直線與圓的交點處的切線的交點就是點P'.
如點P在圓上,反演後仍是它自身.按上述方法都可用尺規作圖完成.

6. 數學模型反演解法概述

數值模擬反問題常常轉化為優化問題，函數優化就是求一個函數的最優值以及達到該最優值的最優點，而最優化演算法本質上是一個最優值的搜索過程。經典的優化演算法如牛頓法、單純形法、共軛方向法、最速下降法和罰函數法等，一般對目標函數要求連續、可微甚至於高階可微、單峰等；需要對函數求一階、二階導數；受初值影響較大，演算法容易陷入局部最小值，對於多峰函數優化問題具有較大局限性。

20世紀80年代初期以來，地下水水流與溶質遷移模型和數值優化方法相結合越來越普遍，目前常用的主要有以下兩種方法。

3.4.7.1 數學規劃方法

主要包括線性規劃（LP），該方法廣泛應用於線性目標函數及流量約束的地下水管理問題，解線性規劃的軟體主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非線性規劃（NLP）；混合整數線性規劃（MILP）；混合整數非線性規劃（MINLP）。其中線性規劃法計算效率較高，但僅適用於承壓含水層，通常不能有效地處理溶質運移問題。非線性規劃與動態規劃的應用較廣泛，計算效率上有優勢，但需要計算目標函數對決策變數的導數即梯度，因此，該方法又被稱為梯度法，在目標函數很復雜，而且為非線性時，結果往往會陷於一個局部最優解而不能識別全局最優解。

3.4.7.2 全局優化方法

主要以啟發式搜索技術為根據的一類優化方法，包括模擬退火法、遺傳演算法、禁忌搜索法、人工神經網路法、外圍近似法等，這些方法有識別全局或接近全局范圍內最優解的能力。全局優化法能夠模仿一定的自然系統，通常計算量很大。本書主要介紹4種現階段應用廣泛發展較為迅速的優化演算法。

遺傳演算法（Genetic Algorithms，GA）是一類借鑒生物界自然選擇（Natural Selection）和自然遺傳機制的隨機搜索演算法（Random Searching Algorithms），求解問題一般包括編碼、計算適應度、選擇、交叉、變異、循環回到計算適應度，反復進行直到滿足終止條件。該演算法是處理一般非線性數學模型優化的一類新的優化方法，對模型是否線性、連續、可微等不作限制，也較少受優化變數數目和約束條件的束縛，其本質是一種高效、並行、全局搜索的方法，能在搜索過程中自動獲取和積累相關搜索空間的知識，並自適應地控制搜索過程以求得最優解。目前已廣泛用於函數優化、參數辨識、機器學習、神經網路訓練、結構設計和模糊邏輯系統等方面。常用的GA計算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模塊化地下水優化程序，該程序是地下水水質管理的通用優化模型。將水流和遷移模擬程序與遺傳演算法相結合，能適應非線性復雜目標函數，能夠處理水頭、梯度、水流以及濃度等約束條件。SOMOS程序，實現了包括遺傳演算法和人工神經網路的優化演算法，能處理經濟、環境以及地下水管理體積等問題，同時SOMOS可以將MODFLOW和MT3DMS作為模型的組成部分進行運算。但是目前遺傳演算法的應用還存在明顯的不足，主要表現為以下幾點：

1）GA的演算法設計和關鍵控制參數選擇對優化性能的影響明顯，直接影響演算法的搜索效率和優化性能，甚至導致「早熟」收斂；

2）參數識別研究中的編碼方案以二進制編碼為主，計算量和存儲量大。

人工神經網路（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神經元通過極其豐富和完善的聯結而構成的自適應非線性動態系統，它使用大量簡單的相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力，從外界環境或其他神經元獲得資訊，同時加以簡單的運算，將結果輸出到外界或其他人工神經元。神經網路在輸入資訊的影響下進入一定狀態，由於神經元之間相互聯系以及神經元本身的動力學特性，這種外界刺激的興奮模式會自動地迅速演變成新的平衡狀態。人工神經網路是一種計算系統，包括軟體與硬體，它使用大量簡單相連的人工神經元來模仿生物神經網路的能力。人工神經網路是生物神經元的簡單模擬，它從外界環境或者其他神經元取得資訊，同時加以非常簡單的運算，輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。人工神經網路系統反映了人腦功能的許多基本特性，但它並不是人腦神經系統的真實寫照，而只是對其作某種簡化、抽象和模擬，這也是當前的現實情況。是目前對人腦神經及其智能機理的研究水平所能做到的，對人腦智能機理的簡化、抽象和模擬是人工神經網路研究的基本出發點。

支持向量機是基於統計學理論的VC維理論和結構風險最小化原理而提出的一種新的機器學習方法。與傳統的神經網路學習方法相比，支持向量機從結構風險最小化原則出發，求解的是一個二次規劃問題而得到全局最優解，有效地解決了模型選擇與過學習問題、非線性和維數災難以及局部極小等問題，在解決小樣本、非線性、高維模式識別問題中表現出許多特有的優勢。

模擬退火演算法是對固體退火過程的模擬。在金屬熱加工工藝中，將金屬材料加熱到某一高溫狀態後，讓其慢慢冷卻，隨著溫度的降低，物質的能量將逐漸趨近於一個較低的狀態，並最終達到某種平衡。模擬退火演算法是基於金屬退火的機理而建立的一種全局最優化方法，它能夠以隨機搜索技術從概率的意義上找出目標函數的全局最小點。模擬退火演算法的主要缺點是解的質量與求解時間之間存在矛盾，該演算法對於多應力期模型和大量水文地質參數的反演，收斂緩慢，得不到滿意的結果。

7. 反演問題的一些基本概念

1.1.1 反演問題的必要性

當用數值法對地下水運動進行模擬時，所建立的數學模型應當客觀地反映實際含水層系統的水文地質條件和地下水運動的基本特徵。也就是說，當施加自然的或人為的影響時，數學模型的反映和實際含水層的反映應當一致或非常接近。只有這樣，我們才能利用模型來預測含水層系統的狀態，進行合理的管理與控制。因此，我們必須對所建立的數學模型進行檢驗，即利用已建立的微分方程和定解條件，模擬已知的實際過程（天然地下水位動態或抽水試驗過程），將計算值與實測值相比較。如果相差過大，就要修改微分方程或邊界條件或參數，重新模擬，直至基本吻合為止。

事實上，反演問題的核心內容是水文地質參數識別問題。因為微分方程類型的選擇和定解條件等的確定，通過水文地質勘探和試驗是比較容易解決的。在反演過程中，即使對這兩項進行修改，由於可供選擇的類型有限，問題也較容易解決。然而，我們卻不能直接將根據野外試驗資料用解析公式求得的水文地質參數用於數值計算的正演問題。這是因為，地下水動力學中各解析求參公式的數學模型與實際情況出入較大，如含水層均質、各向同性、等厚、無限延伸等假設。嚴格地講，解析公式求出的水文地質參數也僅適用於與求參公式相對應的數學模型的正演問題。事實上，參數與模型相對應，這就是所謂的模型參數的概念。另一方面，野外抽水試驗求得的水文地質參數只代表試驗點附近一個很小的區域。因此，我們必須用基於相應的模型反求水文地質參數。

1.1.2 模型參數的概念

自然界地下水流系統在時空域上都是非常復雜的，為了便於解決實際問題，必須對含水層系統進行概化，即忽略一些和當前問題無關或關系不大的因素，建立相應的數學模型。概化一般包括以下幾個方面：

1）地下水流系統區域幾何形狀的概化；

2）邊界性質的概化與初始流場的模擬；

3）參數性質的概化；

4）地下水流態的概化。

由於數學工具的局限性，往往概化得非常合理的水文地質模型，卻不能用現有的數學工具來描述，或者可以描述卻不能得到它的解。因此，權宜的做法是「兩相湊合」，即使概化不失大體，而數學模型又簡單可解。由這里的分析可知，通過對復雜的地下水流系統進行概化而建立起來的數學模型僅僅是對實際地下水流系統的一個近似表述。作為數學模型一部分的參數也是對含水層本身固有參數的近似和綜合，它並不是含水層本身所固有的參數。為了區別，我們將按數學模型求得的參數定義為「模型參數」。顯然，對同一地下水流系統通過勘探建立水文地質模型時，由於勘探的局限性和工作者經驗上的差別，不同的工作者可以建立起不同的水文地質模型，相應地就有不同的數學模型和「模型參數」。因此，在實際工作中，判斷參數是否正確將是困難的，不能一概而論。例如，對於一潛水含水層系統，我們既可選用Boulton模型，也可選用Neuman模型對其進行模擬。顯然，兩種模型參數的個數和類型是有差異的；即使是同類型的參數，由於模型之間的差異，在數值上也不會一致。

1.1.3 反演問題的適定性

對於一個描述地下水流的數學模型，如果滿足以下三條：

1）一定可以求得其解（解的存在性）；

2）所求得的解是唯一的（解的唯一性）；

3）這個解對原始數據是連續依賴的，即當參數或定解條件發生微小變化時，解的變化也是微小的（解的穩定性），就稱這個數學模型是適定的。

一般來講，正問題都是適定的，而逆問題往往是不適定的。從水文地質本身來講，逆問題解的存在性是沒有疑問的，因此下面只對解的唯一性和穩定性問題做一些討論。

1.1.3.1 反演問題解的不唯一性

由於當水文地質參數不同時，仍有可能產生相同的水頭分布，所以僅靠水頭觀測值往往不能唯一確定水文地質參數，如承壓一維穩定流模型：

含水層參數識別方法

式中h為地下水水頭，T（x）為導水系數，x為坐標，H₁、H₂為給定水頭值。

當含水層是均質的，也即T（x）=C時，其水頭分布與導水系數T、貯水系數S無關，僅取決於邊界條件。由此可見，盡管水文地質參數不同，仍可以產生相同的水頭分布。

上述模型的正問題是已知T（x）和邊界條件求h（x），現在我們考慮逆向題，即已知h（x），求T（x）。將式（1-1）積分得：

含水層參數識別方法

即：

含水層參數識別方法

雖然是已知的，而常數 C 是任意的，故解 T（x）不是唯一的。但是，如果已知某個斷面的流量，例如 x=L 處不僅已知h（x），而且已知

含水層參數識別方法

則式（1-3）中的C=-q，從而T（x）在x=L處被唯一確定了。

再考慮承壓二維穩定流動，其方程為

含水層參數識別方法

其中h為地下水水頭，T（x）為導水系數，W為源匯項，x，y為坐標變數。

將方程（1-5）改寫為

含水層參數識別方法

並令

含水層參數識別方法

將式（1-7）代入式（1-6），得：

含水層參數識別方法

因在區域Ω中的每一點h（x，y）和源匯項為已知，所以方程（1-8）是關於T的一階線性偏微分方程，其通解一定包含一個任意函數。如T是方程（1-8）的一個解，T′是方程

含水層參數識別方法

的一個解，則T+T′也一定是方程（1-8）一個解。因為

含水層參數識別方法

也就是說，方程（1-5）的解是不唯一的。

1.1.3.2 反演問題解的不穩定性

為了說明該問題，我們再次以一維承壓穩定流動為例，其數學模型為

含水層參數識別方法

由公式（1-4）可得：

含水層參數識別方法

由於規則的水頭h^*（x）總帶有一定誤差e，因此我們可以寫出

含水層參數識別方法

式中h（x）是真正的水頭值。由式（1-10）和式（1-11），得：

含水層參數識別方法

因此T與T^*的絕對誤差為

含水層參數識別方法

因此，T-T^*的大小與和的大小有關。e 雖然很小，但可能仍然很大。如果

含水層參數識別方法

於是

含水層參數識別方法

很明顯，這是不符合實際的。因此在上述情況下，逆問題的解是不穩定的，即水頭h（x）的微小誤差可能導致所求參數的較大誤差。

以承壓二維穩定流為例

含水層參數識別方法

假設已知區內水頭函數h（x，y）和源匯項W，求導水系數T（x，y）。

由式（1-5）得：

含水層參數識別方法

由於h（x，y）只能通過實測獲得其近似值，不可避免地會帶有誤差。設誤差為e（x，y），則實測水位值h′=h+e（H為水頭真值），計算得的導水系數為

含水層參數識別方法

即使 e（x，y）很小，但，仍然可能很大，因而絕對誤差 T-T′ 可能很大。以上討論表明，反演問題的解是不穩定的，即水頭微小的誤差可能給逆問題的解 T（x，y）帶來很大的誤差。因為逆問題的不適定性，求解時常加上約束條件，以避免出現不合理的情況。例如，由水文地質常識可知，滲透系數和導水系數都是非負的，即 K≥0，T≥0。貯水系數和給水度不能大於1，即0≤μ≤1，0≤S≤1等等。

Neuman^［2］較為系統的研究了逆問題解的不唯一性和不穩定性問題，此後我國學者薛愚群、孫訥正、陳崇希等人^［3～10］也對這些問題進行了討論，有興趣的讀者可參閱有關著作。

8. 數論函數的反演公式

設n為正整數,則有反之亦然。這就是著名的麥比烏斯反演公式，它還有乘積表達式。則
麥比烏斯反演公式是R.戴德金1857年給出的，它有多種推廣形式，在數論和組合數學中都很有用。例如由,用麥比烏斯反演公式立即可得。因為nu是積性函數,所以也是積性函數，於是容易求得σu(n)的表達式。以素數 p為模，把多項式xp-x分解為不可約多項式之積,設其素因式的次數為m,已知m|n，反之，任一個m(m|n)次不可約多項式一定是該式的因式,設φn表示對模p的n次不可約多項式的個數，故有由麥比烏斯反演公式得，故得φn>0，即知道元素個數為pn的有限域存在。

9. 邏輯代數中的反演規則和對偶規則

1、反演規則

若將邏輯函數f表達式中所有的「·」變成「+」，「+」變成「·」，「0」變成「1」，「1」變成「0」，原變數變成反變數，反變數變成原變數，並保持原函數中的運算順序不變 ，則所得到的新的函數為原函數f的反函數

(9)數學反演擴展閱讀：

邏輯代數有與、或、非三種基本邏輯運算。它是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是用來分析和設計數字電路的數學工具。此外，邏輯變數的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構成了邏輯函數的與或式，也叫做積之和式。

與邏輯和乘法：乘法原理中自變數是因變數成立的必要條件，與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致，所以與邏輯和乘法對應。

10. 數學中的仿射和反演變換

原理在有限維的情況，每個仿射變換可以由一個矩陣A和一個向量

雙仿射變換b給出，它可以寫作A和一個附加的列b。一個仿射變換對應於一個矩陣和一個向量的乘法，而仿射變換的復合對應於普通的矩陣乘法，只要加入一個額外的行到矩陣的底下，這一行全部是0除了最右邊是一個1，而列向量的底下要加上一個1.設在平面上給定了半徑為r的圓O，若A′為過定點O的直線OA上一點，且有向線段OA與OA′滿足OA·OA′=k^2(k為非零常數），則這種變換叫做關於⊙O（r）的反演變換，簡稱反演。稱A′為A關於⊙O（r）的反演點，同樣，A為A′關於⊙O（r）的反演點；圓心O稱為反演中心或反演極；圓半徑r稱為反演半徑；⊙O（r）稱為反演（基）圓。