河南中考數學試卷

『壹』 2009年河南中考數學試題。最後一題的答案詳解

分析：（1）由於四邊形ABCD為矩形，所以A點與D點縱坐標相同，A點與B點橫坐標相同；
（2）①根據相似三角形的性質求出點E的橫坐標表達式即為點G的橫作標表達式．代入二次函數解析式，求出縱標表達式，將線段最值問題轉化為二次函數最值問題解答．
②若構成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，於是可分EQ=EC，EC=CQ，EQ=EC三種情況討論．若有兩種情況時間相同，則三邊長度相同，為等腰三角形．

解：
（1）因為點B的橫坐標為4，點D的縱坐標為8，AD∥x軸，AB∥y軸，所以點A的坐標為（4，8）．（1分）
將A（4，8）、C（8，0）兩點坐標分別代入y=ax2+bx得 {16a+4b=8 64a+8b=0解得a=- 1/2，b=4，
∴拋物線的解析式為：y=- 1/2x2+4x；（3分）
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= PE/AP= BC/AB，即 PE/AP= 4/8．
∴PE= 1/2AP= 1/2t．PB=8-t．
∴點E的坐標為（4+ 1/2t，8-t）．
∴點G的縱坐標為：- 1/2（4+ 1/2t）2+4（4+ 1/2t）=- 1/8t^2+8．（5分）
∴EG=- 1/8t^2+8-（8-t）=- 1/8t^2+t．
∵- 1/8＜0，∴當t=4時，線段EG最長為2．（7分）
②共有三個時刻．（8分）
（①）當EQ=QC時，
因為Q（8，t），E（4+ 1/2t，8-t），QC=t，
所以根據兩點間距離公式，得：
（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=t^2．
整理得13t^2-144t+320=0，
解得t= 40/13或t= 104/13=8（此時E、C重合，不能構成三角形，捨去）．
（②）當EC=CQ時，
因為E（4+ 1/2t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根據兩點間距離公式，得：
（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2=t^2．
整理得t^2-80t+320=0，t=40-16 根號5，t=40+16 根號5＞8（此時Q不在矩形的邊上，捨去）．
（③）當EQ=EC時，
因為Q（8，t），E（4+ 1/2t，8-t），C（8，0），
所以根據兩點間距離公式，得：（ 1/2t-4）^2+（8-2t）^2=（4+ 1/2t-8）^2+（8-t）^2，
解得t=0（此時Q、C重合，不能構成三角形，捨去）或t= 163．
於是t1= 16/3，t2= 40/13，t3=40-16根號 5．（11分）

點評：拋物線的求法是函數解析式中的一種，通常情況下用待定系數法，即先列方程組，再求未知系數，這種方法本題比較適合．對於壓軸題中的動點問題、極值問題，先根據條件「以靜制動」，用未系數表示各自的坐標，如果能構成二次函數，即可通過配方或頂點坐標公式求其極值．