初3數學題

1. 初3數學題

例1
解方程：x(x-1)=
x(x+1)
分析：(啟發學生一起想)先化為一般形式.
解：原方程化為(1-
)x2-(1+
)x=0,提取公因式x,得x[(1-
)x-(1+
)]=0,x=0,(1-
)x-(1+
)=0.
(二次根式運算的結果，應化為最簡二次根式)
例2
解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0.
分析：(啟發學生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展開整理為一元二次方程一般形式.
觀察題目的結構可見，把3x+2換元為t，則原方程就是t的一元二次方程.
解：設3x+2=t,原方程變為t2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t1=3,t2=5.即3x+2=3或3x+2=
5.故x1=
1
3,x2=1.
註：本題也可直接寫為[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=1
3,x2=1.
例3
解方程：144x2=61-208x.
解：原方程化為144x2+208x-61=0,則a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61.
(此題數據太大，不宜大乘大除，應注意計算技巧.分解因數，提取公因數，化為連乘積)
b2-4ac=(16×13)
2+22×42×9×61=82
(4×169＋9×61)=82×1225=(8×35)
2＞0,原方程有實根.
例4
解方程：2(x+1)2+3(x+1)(x-2)-2(x-2)
2=0.
分析：如果把各項展開，整理為一元二次方程的一般過程太繁.觀察題目結構，可換元
.
解：設x+1=m,x-2=n,原方程變形為2m2+3mn-2n2=0,左邊因式分解為(2m-n)(m+2n)=0,2
m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4
,x2=1.
另解：也可直接寫為
[2(x+1)-(x-2)][(x+1)+2(x-2)]=0,
2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0,
故
x1=-4,x2=1.
例5
解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44.
分析：從例4的解題過程，我們再一次體會到，解方程的基本思想之一是「降次」，例
如把一元二次方程降次，轉化為兩個一元一次方程.
本題是一元四次方程，我們試試能不能和因式分解法把方程(注意，必須等號一邊為0)
(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左邊分解因式.
解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，[(x+2)(x-4)][(x+3)(x-5)]-44=0,(x2-2x-8)
(x2-2x-15)-44=0,
令y=x2-2x-8,原方程變為y(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0
,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0.
由x2-2x-19=0，得x1,2=1±2
；由x2-2x-4=0,得x3,4=1±
.
所以
x1=1+2
,x2=1-2
,x3=1+
,x4=1-
.

2. 初3數學題

1.設應邀請x個球隊參加比賽.
每一場的一個隊都要與x-1個隊比賽,次數是1*(x-1),
x個球隊比賽的次數是x*(x-1)/2,
列方程,得:x*(x-1)/2=28,x^2-x-56=0,x=-7(捨去),x=8,
應邀請8個球隊參加比賽.
2.設這種葯品每次降價的百分率是y.
第一次降價後售價=125(1-y),
第二次降價後售價=[125(1-y)](1-y);
列方程,得:[125(1-y)](1-y)=80,
(1-y)^2=16/25,1-y=4/5 ,y=1/5=0.2=20%.
這種葯品每次降價的百分率是20%.
3.設五、六月份營業額的月平均增長率是z。
四月份營業額=500(1-10%)=500*90%=450,
五月份營業額=450(1+z),
六月份營業額=[450(1+z)](1+z);
列方程,得:[450(1+z)](1+z)=648,(1+z)^2=648/450=36/25,
(1+z)=6/5,z=1/5=0.2=20%.
五、六月份營業額的月平均增長率是20%。
第2題：
設每次降價的百分比為x，根據題意可列方程
125(1-x)2=80
解得 x=0.2
所以每次降價的百分比為20％
第3題
4月份的營業額為：500－500×10％＝450萬元
設5、6月每月的增長率為x,根據題意可列方程
450（1+x）2=648
解得 x=0.2
所以5、6月每月平均增長20％