2005數學一

❶ 2005江西高考數學題及答案

2005年江西高考數學試卷（理科）
一．選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1．設集合 則
（A） （B） （C） （D）
2．設復數 若 為實數,則
（A） （B） （C） （D）
3．「 」是「直線 與圓 相切」的
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分必要條件 （D）既不充分又不必要條件
4． 的展開式中,含 的正整數次冪的項共有
（A）4項 （B）3項 （C）2項 （D）1項
5．設函數 ,則 為
（A）周期函數,最小正周期為 （B）周期函數,最小正周期為
（C）周期函數,最小正周期為 （D）非周期函數
6．已知向量 ,若 ,則 與 的夾角為
（A） （B） （C） （D）
7．已知函數 的圖象如右圖所示
（其中 是函數 的導函數）.下
面四個圖象中 的圖象大致是

8．若 ,則
（A） （B） （C） （D）
9．矩形ABCD中, ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 ,則四面體ABCD的外接球的體積為
（A） （B） （C） （D）
10．已知實數 滿足等式 ,下列五個關系式
① ② ③ ④ ⑤
其中不可能成立的關系式有
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
11．在 中,O為坐標原點, ,則當 的面積達到最大值時,
（A） （B） （C） （D）
12．將 這 個數平均分成三組,則每組的三個數都成等差數列的概率為
（A） （B） （C） （D）
二．填空題：本大題共的小題,每小題4分,共16分.請把答案填在答題卡上.
13．若函數 是奇函數,則
14．設實數 滿足 ,則 的最大值是＿＿＿＿＿
15．如圖,在直三稜柱 中,

分別為 的中點,沿稜柱的表面從
E到F兩點的最短路徑的長度為＿＿＿＿＿＿
16．以下四個關於圓錐曲線的命題中
①設A、B為兩個定點, 為非零常數,若 ,則點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若 ,則動點P的軌跡為橢圓；
③方程 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線 與橢圓 有相同的焦點.
其中真命題的序號為＿＿＿＿＿＿＿＿（寫出所有真命題的序號）.
三．解答題：本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知函數 為常數）,且方程 有兩個實根為
（1）求函數 的解析式；
（2）設 ,解關於 的不等式：
18．（本小題滿分12分）
已知向量 ,令
是否存在實數 ,使 （其中 是 的導函數）？若存在,則求
出 的值；若不存在,則證明之.
19．（本小題滿分12分）
A、B兩位同學各有五張卡片,現以投擲均勻硬幣的形式進行游戲,當出現正面朝上時A贏
得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.規定擲硬幣的次數達到9次時,或在此前某人已贏
得所有卡片時游戲終止.設 表示游戲終止時擲硬幣的次數.
（1）求 的取值范圍；
（2）求 的數學期望
20．（本小題滿分12分）
如圖,在長方體 中, ,點E在棱AB上移動.
（1）證明： ；
（2）當EAB的中點時,求點E到面 的距離；
（3）AE等於何值時,二面角 的大小為 .
21．（本小題滿分12分）
已知數列 的各項都是正數,且滿足：
（1）證明
（2）求數列 的通項公式
22．（本小題滿分14分）
如圖,設拋物線 的焦點為F,動點P
在直線 上運動,過P作拋物線
C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切
於A、B兩點
（1）求 的重心G的軌跡方程；
（2）證明

2005年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）
理科數學參考答案
一、選擇題
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空題
13． 14． 15． 16．③④
三、解答題
17．解：（1）將 得

（2）不等式即為
即
①當
②當
③ .
18．解：

19．解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則 ，可得：

（2）

20．解法（一）
（1）證明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）設點E到面ACD1的距離為h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，
故

（3）過D作DH⊥CE於H，連D1H、DE，則D1H⊥CE，
∴∠DHD1為二面角D1—EC—D的平面角.
設AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而 ，
，設平面ACD1的法向量為 ，則
也即 ，得 ，從而 ，所以點E到平面AD1C的距離為

（3）設平面D1EC的法向量 ，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依題意
∴ （不合，捨去）， .
∴AE= 時，二面角D1—EC—D的大小為 .
21．解：（1）方法一 用數學歸納法證明：
1°當n=1時，
∴ ，命題正確.
2°假設n=k時有
則

而
又
∴ 時命題正確.
由1°、2°知，對一切n∈N時有
方法二：用數學歸納法證明：
1°當n=1時， ∴ ；
2°假設n=k時有 成立，
令 ， 在[0，2]上單調遞增，所以由假設
有： 即
也即當n=k+1時 成立，所以對一切
（2）下面來求數列的通項： 所以

,
又bn=－1，所以
22．解：（1）設切點A、B坐標分別為 ，
∴切線AP的方程為：
切線BP的方程為：
解得P點的坐標為：
所以△APB的重心G的坐標為 ，

所以 ，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

（2）方法1：因為
由於P點在拋物線外，則
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①當 所以P點坐標為 ，則P點到直線AF的距離為：
即
所以P點到直線BF的距離為：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②當 時，直線AF的方程：
直線BF的方程：
所以P點到直線AF的距離為：
，同理可得到P點到直線BF的距離 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.

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2005年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學（必修+選修Ⅱ）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鍾.
第I卷
參考公式：
如果事件A、B互斥，那麼
P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，那麼
P（A•B）=P(A)•P(B)
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那麼
n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
Pn(k)=C Pk(1－P)n－k

一、選擇題：每小題5分，共60分.
1．已知 為第三象限角，則 所在的象限是 （ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y－1=0平行，則m的值為 （ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．在 的展開式中 的系數是 （ ）
A．－14 B．14 C．－28 D．28
4．設三稜柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B—APQC的體積為 （ ）
A． B． C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，則 （ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．設 ,且 ,則 （ ）
A． B． C． D．
8． = （ ）
A． B． C．1 D．
9．已知雙曲線 的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且 則點M到
x軸的距離為 （ ）
A． B． C． D．
10．設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓於點P，若△F1PF2為
等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．不共面的四個定點到平面 的距離都相等，這樣的平面 共有 （ ）
A．3個 B．4個 C．6個 D．7個
12．計算機中常用十六進制是逢16進1的計數制，採用數字0～9和字母A～F共16個計數
符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：
十六進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六進製表示：E+D=1B，則A×B= （ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0

第Ⅱ卷
二、填空題：每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．已知復數 .
14．已知向量 ，且A、B、C三點共線，則k= .
15．設l為平面上過點（0，1）的直線，l的斜率等可能地取 用ξ表示坐標原點到l的距離，則隨機變數ξ的數學期望Eξ= .
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，則點P到AC、BC
的距離乘積的最大值是
三.解答題：共74分.
17．(本小題滿分12分)
設甲、乙、丙三台機器是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內，甲、
乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概
率為0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台機器在這個小時內需要照顧的概率分別是多少；
（Ⅱ）計算這個小時內至少有一台需要照顧的概率.

18．(本小題滿分12分)
如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小．

19．（本小題滿分12分）
△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數列，
（Ⅰ）求cotA+cotC的值；
（Ⅱ）設 的值.
20．(本小題滿分12分)
在等差數列 中，公差 的等差中項.
已知數列 成等比數列，求數列 的通項

21．（本小題滿分14分）
設 兩點在拋物線 上，l是AB的垂直平分線.
（Ⅰ）當且僅當 取何值時，直線l經過拋物線的焦點F？證明你的結論；
（Ⅱ）當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值范圍.
22．（本小題滿分12分）
已知函數
（Ⅰ）求 的單調區間和值域；
（Ⅱ）設 ，函數
使得 成立，求a的取值范
2005年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理）參考答案

一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C 11.D 12.B
二、13、 ，14、 ，15、 16、3
三、解答題：
17．解：記「機器甲需要照顧」為事件A，「機器乙需要照顧」為事件B，「機器丙需要照顧」為事件C，由題意.各台機器是否需要照顧相互之間沒有影響，因此，A，B，C是相互獨立事件
（Ⅰ）由題意得： P（A•B）=P(A)•P(B)=0.05
P（A•C）=P(A)•P(C)=0.1
P（B•C）=P(B)•P(C)=0.125
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每台機器需要照顧的概率分別是0.2、0.25、0.5
（Ⅱ）記A的對立事件為 B的對立事件為 ，C的對立事件為 ，
則 ，
於是
所以這個小時內至少有一台機器需要照顧的概率為0.7.
18．證明：方法一：（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）解：取VD的中點E，連結AF，BE，
∵△VAD是正三形， ∴AE⊥VD，AE=
∵AB⊥平面VAD， ∴AB⊥AE.
又由三垂線定理知BE⊥VD. 因此，tan∠AEB=
即得所求二面角的大小為
方法二：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標圖系.
（Ⅰ）證明：不防設作A（1，0，0），
則B（1，1，0）， ，

由 得AB⊥VA. 又AB⊥AD，因而AB與平面VAD內兩條相交直線VA，AD都垂直. ∴AB⊥平面VAD.
（Ⅱ）解：設E為DV中點，則 ，

由
因此，∠AEB是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小為
19．解：（Ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
於是

（Ⅱ）由
由餘弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosB 得a2+c2=b2+2ac•cosB=5.

20．解：依題設得
∴ ，整理得d2=a1d，
∵
得 所以， 由已知得d，3d，k1d，k2d，…，kndn…是等比數列.
由 所以數列 1，3，k1，k2，…，kn，…
也是等比數列，首項為1，公比為
等比數列 ，
即得到數列
21．解：（Ⅰ） 兩點到拋物線的准線的距離相等.
∵拋物線的准線是x軸的平行線， 不同時為0，
∴上述條件等價於
∵ ， ∴上述條件等價於
即當且僅當 時，l經過拋物線的焦點F.
（II）設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為 ；過點A、B的直線方程可寫為 ，所以 滿足方程 得 ；
A，B為拋物線上不同的兩點等價於上述方程的判別式
即
設AB的中點N的坐標為 ，則

由
即得l在y軸上截距的取值范圍為（ ）.
22．解：（I）對函數 求導，得
令 解得
當 變化時， 的變化情況如下表：

0 （0， ）

（ ，1）
1

－ 0 +

－4
－3

所以，當 時， 是減函數；當 時， 是增函數.
當 時， 的值域為[－4，－3].
（II）對函數 求導，得
因為 ，當 時，
因此當 時， 為減函數，從而當 時有
又 即 時有
任給 ， ，存在 使得 ，
則 即
解①式得 ；解②式得
又 ，故a的取值范圍為

❸ 2005年考研數學1第16題

原冪級數括弧內的部分通分後較復雜，故把f(x)拆成兩項。對於第二項(-1)＾內(n-1)* 1/ n(2n-1)*x＾2n，由於x的2n次方，且容其系數中有n(2n-1)，即將系數寫成2n(2n-1)，利用逐項求導即可。(前面分母多乘了2，故第二部分的和函數需要在乘以2。)