數學模型答案

A. 數學模型姜啟源第二版習題答案

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B. 請教：數學建模，希望能給出詳細答案

本文討論的是學生體能測試時間最優安排問題。在每個測試項目每人測試時間與測試機器數量一定的情況下，對問題一、二、三建立數學模型，並藉助於LINGO軟體進行求解，解決了如何安排以盡可能少的時間完成所有項目的測試問題。
模型一：考慮一個班級的情況，分析項目的測試時間與機器數量，將五個測試項目分四個組進行同步測量，並將班級的學生按學號連續分成四個組，建立多目標線性規劃模型，得出測量時間最少的方案一。
模型二：考慮多個班級的情況，同樣先將五個測試項目分成四個組進行同步測量，並將班級的學生按學號連續分成四個組，建立線性規劃模型並求解，得出測量時間最少的方案二。
模型三：在模型一與模型二的基礎上，考慮儀器數、場地容量與分組情況，再次建立與求解規劃模型，提出了最優決策方案。
[關鍵詞]：體能測試 等待時間 規劃模型

一、問題重述
（一）問題的基本情況與要求：
體能測試包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和台階試驗共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄並保存信息。現有身高與體重測量儀器3台，立定跳遠、肺活量測量儀器各1台，握力和台階試驗測量儀器各2台。
身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力4個項目每台儀器每個學生的平均測試（包括學生的轉換）時間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，台階試驗每台儀器一次測試5個學生，需要3分30秒。
每個學生測試每個項目前都要錄入個人信息，平均需時5秒。儀器在每個學生測量完畢後學號將自動後移一位，如果前後測試的學生學號相連，就可以省去錄入時間，同一班學生的學號是相連。
學校安排每天的測試時間為8：00－12：10與13：30－16：45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學生的小型場所進行，測試項目沒有固定的先後順序。
（二）需要解決的問題：
（1）學校要求同一班的所有學生在同一時間段內完成所有項目的測試，並且在整個測試所需時間段數最少的條件下，盡量節省學生的等待時間。
（2）用數學符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數學問題的演算法，用圖表形式表示出測試時間的安排計劃
（3）對學校以後的體能測試就「引進各項測量儀器」，「增加測試場所的人員容量」，「一個班的學生測試時是否需要分組」等幾個方面作出討論。
二、問題分析
問題一的分析：
此時只考慮一個班的學生數，人數必定在容納范圍之內，只需考慮使錄入和等待時間盡可能小這兩個條件。前一條件可對學生進行連續分組。後一條件，由於身高與體重的測試和握力測試兩項的總時間均小於其他三個單項的測試時間，故可將它們看為一個整體。即將該班分成學號連續的4組，同步測量，產生四個階段。所有的同步測量項目全部完成為各個階段結束的標志。在每個階段中，4組項目里必定有測試所需時間最多與最少的一組，這兩組之差（這兩組之差，記為等待時間，它是一個變數；同個組內學生的等待時間為一個常量）越小即意味著這四組越接近同步地完成這一階段的測試。規劃問題的求解，找出規劃的目標函數，為令這四個階段的等待時間之和最小。
問題二的分析：
在給定的測量儀器中，身高與體重的測量儀器有三台，每台儀器每個學生的平均測試時間（包括學生的轉換）為10秒，即每個學生的測試時間為秒（由此可以知道測量的人數是3個人或3個人以上且是被3整除）；握力測量儀器有兩台，每台儀器每個學生平均測試時間為15秒，即每個學生的測試時間為秒（由此可以知道測量的人數是2個人或2個人以上且被2整除），又因為身高與體重和握力所測試的時間之和還小於立定跳遠、肺活量、台階試驗所需要的時間，所以可以將身高與體重和握力看成一個整體；立定跳遠、肺活量測量儀器各一台，每台儀器每個學生平均的測試時間為20秒，即每個學生的測試時間為20秒；台階試驗測量儀器有兩台，每台儀器一次測試5個學生，而每台每個學生平均測試時間為210秒，所以每個學生的測試時間為21秒（由此可以知道測量的人數是10個人或10個人以上且被10整除），由此可以得出這四者時間比為1：2：2：2。根據問題一的思路，建立模型，最後用擬合的方法對各班級進行數據擬合，求出最佳分組方案。
問題三的分析：
該問題是對問題一和二的深入和擴展，就儀器數，場地容量大小和分組情況進行討論。
三、模型假設
1) 每個項目同組測試的學生學號連續；
2) 測試的機器均正常工作；
3) 學生測試一個緊接著一個，之間沒有時間空格；
四、符號說明
：第 組測試的人數 ；
：第 階段中測量時間最長的項目所花的時間；
：第 階段中測量時間最短的項目所花的時間；
：第 階段測試學生等待時間總和
：一個班的學生總人數；
N ：幾個班合起來的學生總人數；
：每個階段中測試人數多的項目向人數少的項目調出的人數；
五、模型建立與求解
模型一 我們把每班分成四個小組， 為第 組測試的人數 ，同時把測試過程分成四個階段，每一階段每一組都要完成所有規定的測試項目，當每一組測試完某一項目後進入下階段測試時，每組間可以隨機變換每一項測試項目，但不重復測試。根據題目分析，測量身高與體重、握力的人均時間之和，比測量立定跳遠、肺活量、台階中每一項人均時間還要小，因此將測量身高體重與握力所用的時間合在一起，把測量學生分成4組，其目標使：

假設將某個班分組，每組人數都被2、3、10整除，這樣每個項目測量利用率最大。
第一階段的模型：

約束條件：
第二階段的模型：

約束條件：
第三階段的模型：

約束條件： ；
第四階段：
；
；
約束條件： ；
其中， ，

：代表一個整數的中間變數 。

假設一個班有40人分成四組，四組的學號分別1—10；11—20；21—30；31—40。第一組測完之後，第二組接上去測，這樣學號連接著，這樣就可以減少錄入時間，擬定了一套方案如圖：

總目標函數為：
第一階段：
；
；
約束條件： ；
第二階段：
；
；
約束條件： ；
第三階段：；
；
；
約束條件： ；
第四階段：
；
；
約束條件： ；
其中， ，

：整數 ；
結論：令各個階段的等待時間最短，就可以使得整個過程的測量時間最短。
模型二： 由問題二分析可知，每個學生測試身高體重與握力的時間跟立定跳遠，肺活量，台階測試的時間比為約1：2：2：2，也就是說當學生人數比約為2：1：1：1，所用等待時間是最短的，但當到達第二階段第三階段第四階段時，所用時間並不是最優的。為使整體達到最優化狀態，可以將分配到測量身高體重與握力的學生拿出一部分平均分配到立定跳遠、肺活量、台階測試組，而這比例中分析可以知道，測量身高體重與握力的人數還要大於其餘各組的人數，所以當達到第二階段時，在時間比不變的情況下，人數發生變化，測量身高體重與握力，肺活量和台階試驗的人數是一樣的，立定跳遠的人數最多。測量身高體重與握力的時間最少，而立定跳遠的時間則是相對最多的，由此也可以達到最優。第三階段與第四階段與前兩階段一樣，可以做到時間最優，從而達到整體最優。該測試場所所能容納的最多人數是150個學生，因此可以先將150個學生看成一個整體，即學生的學號也是連續的。

用 LINGO軟體進行求解，得出結果。（附錄一）測試完所有的學生所用的等待時間最少為1575秒，此時第一階段所用最長時間 為845秒，第二階段所用最長時間 為805秒，第三階段所用的最長時間 為805秒，第四階段所用的最長時間 為845秒，從而可以知道測試完所有學生所用的時間為3300秒。而從測量身高體重與握力的學生中分配出去的人數為21人，所以每個組安排的人數應為39，37，37，37人。
在測試的等待時間最少的情況下，錄入時間減少，那麼整體時間也就可以減少。錄入時間盡可能小的方法是減少錄入次數。在班級組合的情況下，每個班裡被分開的學生人數越少，錄入次數也就越小。
20以下 19，17，17，
20-29 26，20，20，25，20，28，25，20，24，20，20，
30-39 38，37，30，39，35，38，38，30，36，32，33，33，39，37，38，39，37，39，
40-49 41，45，44，44，44，42，45，45，45，44，41，44，42，40，42，43，41，42，45，42，
50以上 51，50，50，75，

按照上面要求根據班級人數對其擬定組合，安排如下：
序號 序號
1 39，37，37，37 8 44，44，42，20
2 75，50，25 9 41，43，36，30
3 51，45，44，20 10 41，42，17，30，20
4 50，42，38，20 11 42，38，32，38
5 45，45，40，20 12 39，33，28，35
6 45，45，41，19 13 39，33，38，39
7 44，44，42，20 14 26，25，24，17
對各班組合人數為150的記多出的錄入次數為 （i=1,2,3……）， 依次為0，2，3，3，3，3，3，3，3，3，3，；多次運行附錄一程序得出對應的 ，由公式 （錄入時間5秒，5項累加為25），可以得到多個班組合成150人的整體後又分別對應的一個時間段 （ 代表第i個組合的所有學生5項全部測完所花的時間），依次為：3300，3350，3375，3375，3335，3375，3375，3375，3375，3375，3375。班組合人數達不到150，剩下三個組合人數分別為135，149，92人，通過每項測量時間比例分析，首先能被5整除的整數部分按比例分配到各測試中去，還有餘數的都歸到身高與體重和握力。
；
約束條件 運用LINGO軟體進行求解，得出結果。（附錄二）在將135個學生看成一個班時，等待時間最少為1475秒，而第一階段的最長測試時間為845秒，第二階段的最長測試時間為685秒，第三階段的最長測試時間為685秒，第四階段的最長測試時間為845秒。不同班級的組合方式如下表。測量135個學生的總時間為3060秒。（附錄三）在將149個學生看成一個班時，等待時間最少為1600秒，而第一階段的最長測試時間為845秒，第二階段的最長測試時間為705秒，第三階段的最長測試時間為705秒，第四階段的最長測試時間為845秒。不同班級的組合方式如下表。測量135個學生的總時間為3100秒。（附錄四）在將92個學生看成一個班時，等待時間最少為1080秒，而第一階段的最長測試時間為635秒，第二階段的最長測試時間為445秒，第三階段的最長測試時間為445秒，第四階段的最長測試時間為635秒。不同班級的組合方式如下表。測量135個學生的總時間為2160秒。
不同班級的組合方式
時間段 全校班級組合 班級組合後的人數 所需時間(分) 秒
8:00-9:00 40\43\11\38 （39，37，37，37） 54.33333333 3260
9:05 -10:05 54\45\24 （75，50，25） 55.16666667 3310
10:10-11:10 33/37/14/8 （51，45，44，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 44/41/39/9 （50，42，38，20） 55.58333333 3335
13:30-14:30 2/13/35/42 （45，45，40，20） 55.58333333 3335
14:35-15:35 15/48/50/52 （45，45，41，19） 55.58333333 3335
15:40-16:40 3/4/7/9 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
8:00-9:00 6/16/36/46 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
9:05 -10:05 25/26/31/47 （41，43，36，30） 55.58333333 3335
10:10-11:10 1/18/27/49/55 （41，42，17，30，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 10/29/21/51 （42，38，32，38） 55.58333333 3335
13:30-14:30 34/32/20/23 （39，33，28，35，） 51 3060
14:35-15:35 19/22/30/53 （39，33，38，39，） 51．66 3100
15:40-16:40 5/12/28/56 （26，25，24，17） 36 2160
問題三：
對學校以後的體能測試就「引進各項測量儀器」，「增加測試場所的人員容量」，「一個班的學生測試時是否需要分組」等幾個方面作出討論。
由上述解答可知，身高體重與握力的總測量時間跟立定跳遠、肺活量、台階試驗的測量時間之比約為1：2：2：2時，滿足第一階段等待時間最短的需求，故身高體重與握力的總測量人數與立定跳遠、肺活量、台階試驗的測量人數之比接近於2：1：1：1。但是在第二階段中，人數之比另有（1：2：1：1 ），（1：1：2：1），（1：1：1：2）幾種情況，這幾種情況都能夠大幅影響各個階段的等待時間。等待時間越小，就應令身高體重與握力的總測量時間跟立定跳遠、肺活量、台階試驗的測量時間之比接近1：1：1：1，此時立定跳遠，肺活量，台階測試儀應分別增加1，1，2台。而令滿足第一階段等待時間最小且對應的人數之比為1：1：1：1時，不論哪個階段等待時間都是最小的。此時新增的儀器數量為：身高與體重測量儀3台，立定跳遠儀器2台，肺活量測試儀器2台，握力測試儀器2台，台階測試儀4台，在資金允許的情況下，儀器按照此比例的增加最為合理。
測量場所的人員容量越大，學校安排的總體測量時間也就越少，通過對此學校每個班的人數和每個班的人數在哪個范圍的分析如下表：
班級人數 班級個數 總人數 比值
20以下 3 53 0.0535
20-30 11 248 0.1964
30-40 18 648 0.3214
40-50 20 861 0.3571
50以上 4 226 0.0714
合計 56 2036
通過計算他們的期望值，即可求出該學校體能測量場所的容量。該期望值代表的是學生人數，因此對每部分的期望值應進行取整。不同人數段的班級總人數與其相對應的比值乘積之和即為期望值：3+45+209+294+17=568。
假如一個班的學生不進行分組測試，這樣只要考慮錄入時間；這個班的分組測試既要考慮各組（各組學生的學號是連續的）的錄入時間又要考慮等待時間，這兩種情況只要考慮哪個時間長。假定這個班級有學生數為n，第一種情況的錄入時間為25n；第二種情況分組，建立以下模型：
；
約束條件
第二種情況下的時間為（5*25+Z） ，跟第一種的錄入時間對比，如果第二種情況的時間小，則應該分組，反之亦然。
六、模型評價
優點：
1) 建立的數學模型通過LINGO軟體的運用，嚴格的對模型進行求解，具有科學性；
2) 建立的模型一有較強的通用性，便於推廣；
3) 建立的模型二與實際緊密聯系，充分考慮了實際存在的問題，使模型具有較強的應用性。
缺點：
1) 在模型一的建立中，將模型理想化，只考慮測量時間和整體錄入時間，並且未能計算出具體方案；
2) 在模型二的建立中，用擬合的方法對人數進行擬合，其結果可能並不是最優的；
3) 由於時間的關系未能將模型三的是否分組一問得出明確的答案。
七、模型擴展
該模型的建立解決的是一個體能測試的時間安排問題，採用動態目標線性規劃建立一個相關性模型，再利用時間比例來反映學生人數的一個比例建立單目標規劃，最後運用LINGO軟體進行求解。因此，該模型還可以應用與其他類似的時間安排，如：零件的測試時間安排，零件安裝的時間安排，選課的合理安排等問題。

C. 1.什麼是數學模型數學建模的一般步驟是什麼 2.數學建模需要具備哪些能力和知識 答的好懸賞加

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐.即通過抽象、簡化、假設、引進變數等處理過程後,將實際問題用數學方式表達,建立起數學模型,然後運用先進的數學方法及計算機技術進行求解.
數學建模將各種知識綜合應用於解決實際問題中,是培養和提高學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一.
數學建模的一般方法和步驟
建立數學模型的方法和步驟並沒有一定的模式,但一個理想的模型應能反映系統的全部重要特徵：模型的可靠性和模型的使用性.建模的一般方法：
機理分析：根據對現實對象特性的認識,分析其因果關系,找出反映內部機理的規律,所建立的模型常有明確的物理或現實意義.
測試分析方法：將研究對象視為一個「黑箱」系統,內部機理無法直接尋求,通過測量系統的輸入輸出數據,並以此為基礎運用統計分析方法,按照事先確定的准則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型.測試分析方法也叫做系統辯識.
將這兩種方法結合起來使用,即用機理分析方法建立模型的結構,用系統測試方法來確定模型的參數,也是常用的建模方法.
在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定.機理分析法建模的具體步驟大致如下：
1、 實際問題通過抽象、簡化、假設,確定變數、參數；
2、 建立數學模型並數學、數值地求解、確定參數；
3、 用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型；
4、 符合實際,交付使用,從而可產生經濟、社會效益；不符合實際,重新建模.
數學模型的分類：
1、 按研究方法和對象的數學特徵分：初等模型、幾何模型、優化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩定性模型、統計模型等.
2、 按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等.
數學建模需要豐富的數學知識,涉及到高等數學,離散數學,線性代數,概率統計,復變函數等等基本的數學知識.同時,還要有廣泛的興趣,較強的邏輯思維能力,以及語言表達能力等等.

參加數學建模競賽需知道的內容
一、全國大學生數學建模競賽
二、數學建模的方法及一般步驟
三、重要的數學模型及相應案例分析
1、線性規劃模型及經濟模型案例分析
2、層次分析模型及管理模型案例分析
3、統計回歸模型及案例分析
4、圖論模型及案例分析
5、微分方程模型及案例分析
四、相關軟體
1、Matlab軟體及編程；2、Lingo軟體；3、Lindo軟體。
五、數模十大常用演算法
1. 蒙特卡羅演算法。2. 數據擬合、參數估計、插值等數據處理演算法。3. 線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類演算法。4. 圖論演算法。5. 動態規劃、回溯搜索、分治演算法、分支定界等計算機演算法。6. 最優化理論的三大非經典演算法。7. 網格演算法和窮舉法。8. 一些連續數據離散化方法。9. 數值分析演算法。10. 圖象處理演算法。
六、如何查閱資料
七、如何寫作論文
八、如何組織隊伍：團隊精神，配合良好，不斷的提出問題和解決問題。
九、如何才能獲獎：比較完整，有幾處創新點。
十、如何信息處理：WORD、LaTeX，飛秋、QQ。
其實主要看下例子就可以了，知道一些基本的模型，我這里也有很多例子，各個學校的講座都有要的話直接向我要

D. 高等數學概率統計與數學模型'100分求詳細過程和答案'！！！！

你好！可以用概率的乘法法則如圖計算各個概率，並由結果求出分布函數。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！

E. 數學建模試題，求詳細解答。

本質上這是一道線性規劃問題,思路很直接,題目中給出了四個約束條件,

假設每天服用甲葯物版x粒, 乙葯物y粒, 除了給出權的四個約束條件之外, 還應該加上

x>0, y> 0這兩個條件,於是我們可以給出如下圖中淡綠色的有效區域,在這個區域內的

整數點都滿足題目中給出的約束, 在這些點當中求最大值或者最小值即可...

過程如此, 關鍵的一步在於給出條件表達式並且畫圖,

答案顯而易見了.

F. 急求微積分與數學模型高等教育第三版（賈曉峰）課後習題答案

第一題：

(6)數學模型答案擴展閱讀

這部分內容主要考察的是微積分的知識點：

高等數學中研究函數的微分(Differentiation)、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。

它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

設Δx是曲線y = f(x）上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高階無窮小），因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

如果函數的增量可表示為 Δy = AΔx + o（Δx）（其中A是不依賴於Δx的常數），而o（Δx）是比Δx高階的無窮小，那麼稱函數f(x）在點

是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變數x的增量 Δx稱為自變數的微分，記作dx，即dx = Δx。於是函數y = f(x）的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。

G. 數學模型第四版的課後答案有沒有

《數學模型》作業解答
第二章(1)（2008年9月16日）
1． 學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數：
（1）. 按比例分配取整數的名額後,剩下的名額按慣例分給小數部分較大者;
（2）. §1中的Q值方法；
（3）.d』Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數用正整數n=1,2,3,……相除，其商數如下表：
1 2 3 4 5
A
B
C 235 117.5 78.3 58.75 …
333 166.5 111 83.25 …
432 216 144 108 86.4

將所得商數從大到小取前10個（10為席位數），在數字下標以橫線，表中A、B、C行有橫線的數分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎？
如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結果列表比較.
解：先考慮N=10的分配方案，

方法一（按比例分配）

分配結果為：
方法二（Q值方法）
9個席位的分配結果（可用按比例分配）為：

第10個席位：計算Q值為

最大，第10個席位應給C.分配結果為
方法三（d』Hondt方法）
此方法的分配結果為：
此方法的道理是：記 和 為各宿舍的人數和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人數，取 從而得到的 中選較大者，可使對所有的 盡量接近.
再考慮 的分配方案，類似地可得名額分配結果.現將3種方法兩次分配的結果列表如下：
宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3）
A
B
C 3 2 2
3 3 3
4 5 5 4 4 3
5 5 5
6 6 7
總計 10 10 10 15 15 15

2． 試用微積分方法，建立錄像帶記數器讀數n與轉過時間的數學模型.
解： 設錄像帶記數器讀數為n時，錄像帶轉過時間為t.其模型的假設見課本.
考慮 到 時間內錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得 兩邊積分，得

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度為 的風吹在迎風面積為 的風車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風車獲得的功率 與 、S、 的關系.
解: 設 、 、S、 的關系為 ， 其量綱表達式為:
[P]= , [ ]= ,[ ]= ,[ ]= ,這里 是基本量綱.
量綱矩陣為：
A=

齊次線性方程組為：

它的基本解為
由量綱 定理得 ， ， 其中 是無量綱常數.
16．雨滴的速度 與空氣密度 、粘滯系數 和重力加速度 有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度 的表達式.
解：設 , , , 的關系為 , , , =0.其量綱表達式為[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.
量綱矩陣為
A=
齊次線性方程組Ay=0 ，即

的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量綱 定理 得 . ，其中 是無量綱常數.
16 ．雨滴的速度 與空氣密度 、粘滯系數 、特徵尺寸 和重力加速度 有關，其中粘滯系數的定義是：運動物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數為粘滯系數，用量綱分析方法給出速度 的表達式.
解：設 , , , ， 的關系為 .其量綱表達式為
[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T0 ，[ ]=LM0T-2
其中L，M，T是基本量綱.
量綱矩陣為
A=
齊次線性方程組Ay=0 即

的基本解為

得到兩個相互獨立的無量綱量

即 . 由 , 得
, 其中 是未定函數.

20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運動中考慮阻力，並設阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達式，然後討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計算原型擺的周期.
解：設阻尼擺周期 ,擺長 , 質量 ,重力加速度 ，阻力系數 的關系為

其量綱表達式為：
， 其中 ， ， 是基本量綱.
量綱矩陣為
A=
齊次線性方程組

的基本解為

得到兩個相互獨立的無量綱量

∴ , ,
∴ ，其中 是未定函數 .
考慮物理模擬的比例模型，設 和 不變，記模型和原型擺的周期、擺長、質量分別為 , ； , ; , . 又
當無量綱量 時， 就有 .
《數學模型》作業解答
第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1節存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用,重新確定最優訂貨周期和訂貨批量．證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少．
解：設購買單位重量貨物的費用為 ,其它假設及符號約定同課本．
對於不允許缺貨模型，每天平均費用為：

令 ， 解得
由 ，得
與不考慮購貨費的結果比較，T、Q的最優結果沒有變．
對於允許缺貨模型，每天平均費用為：

令 ，得到駐點：

與不考慮購貨費的結果比較，T、Q的最優結果減少．

2．建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型．設生產速率為常數 ，銷售速率為常數 ， ．在每個生產周期T內，開始的一段時間 一邊生產一邊銷售，後來的一段時間 只銷售不生產，畫出貯存量 的圖形.設每次生產准備費為 ，單位時間每件產品貯存費為 ，以總費用最小為目標確定最優生產周期，討論 和 的情況.
解：由題意可得貯存量 的圖形如下：

貯存費為
又
, 貯存費變為
於是不允許缺貨的情況下，生產銷售的總費用（單位時間內）為

.
, 得
易得函數 取得最小值，即最優周期為：
. 相當於不考慮生產的情況.
. 此時產量與銷量相抵消，無法形成貯存量.

第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3節森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度 與開始救火時的火勢 有關，試假設一個合理的函數關系，重新求解模型.
解：考慮滅火速度 與火勢 有關，可知火勢 越大，滅火速度 將減小，我們作如下假設: ，
分母 而加的.
總費用函數
最優解為
5．在考慮最優價格問題時設銷售期為T，由於商品的損耗，成本 隨時間增長，設 ， .又設單位時間的銷售量為 .今將銷售期分為 兩段，每段的價格固定，記作 .求 的最優值，使銷售期內的總利潤最大.如果要求銷售期T內的總售量為 ，再求 的最優值.
解：按分段價格，單位時間內的銷售量為

又 .於是總利潤為

=
=

, 得到最優價格為:

在銷售期T內的總銷量為

於是得到如下極值問題：

利用拉格朗日乘數法，解得：

即為 的最優值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購一次，每次定購的費用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費為0.18元.假設當貯存量降到零時訂貨立即到達.問是否應改變訂貨策略？改變後能節約多少費用？
解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費 ＝2500（元）;
每天每噸角鋼的貯存費 ＝0.18（元）.又現在的訂貨周期T ＝30（天）
根據不允許缺貨的貯存模型：
得：

令 ， 解得：
由實際意義知：當 （即訂貨周期為 ）時，總費用將最小.
又 ＝300＋100k
=353．33＋100k
－ ＝（353.33＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.
故應改變訂貨策略.改變後的訂貨策略（周期）為T = ，能節約費用約53．33元.

《數學模型》作業解答
第四章（2008年10月28日）
1. 某廠生產甲、乙兩種產品,一件甲產品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙產品用 原料2千克, 原料4千克.現有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙產品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產使收入最大？
解：設安排生產甲產品x件,乙產品y件，相應的利潤為S
則此問題的數學模型為：
max S=20x+30y
s.t.
這是一個整線性規劃問題，現用圖解法進行求解
可行域為：由直線 ：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0組成的凸四邊形區域.
直線 ：20x+30y=c在可行域內
平行移動.
易知：當 過 與 的交點時， x
S取最大值.
由 解得
此時 ＝20 ＝350（元）
2. 某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表：

貨物 體積
（立方米/箱） 重量
（百斤/箱） 利潤
（百元/箱）
甲 5 2 20
乙 4 5 10
已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱，使得所獲利潤最大，並求出最大利潤.
解:設甲貨物、乙貨物的托運箱數分別為 , ,所獲利潤為 則問題的數學模型可表示為

這是一個整線性規劃問題.
用圖解法求解.
可行域為：由直線

及 組成直線 在此凸四邊形區域內平行移動.

易知：當 過 與 的交點時， 取最大值
由 解得
.
3．某微波爐生產企業計劃在下季度生產甲、乙兩種型號的微波爐.已知每台甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產一台甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位,所需工時分別為4和2個單位.若允許使用原料為100個單位,工時為120個單位,且甲型、乙型微波爐產量分別不低於6台和12台.試建立一個數學模型,確定生產甲型、乙型微波爐的台數,使獲利潤最大．並求出最大利潤.
解：設安排生產甲型微波爐 件,乙型微波爐 件,相應的利潤為S.
則此問題的數學模型為：
max S=3x +2y
s.t.
這是一個整線性規劃問題
用圖解法進行求解
可行域為：由直線 ：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12組成的凸四邊形區域.
直線 ：3x+2y=c在此凸四邊形區域內平行移動. 易知：當 過 與 的交點時, S取最大值.

由 解得
.
＝3 ＝100.

《數學模型》作業解答
第五章1（2008年11月12日）

1.對於5.1節傳染病的 模型，證明：
（1）若 ，然後減少並趨於零； 單調減少至
（2）
解：傳染病的 模型（14）可寫成

（1）

（2）

4．在5.3節正規戰爭模型（3）中，設乙方與甲方戰斗有效系數之比為
初始兵力 相同.
(1) 問乙方取勝時的剩餘兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定.
(2) 若甲方在戰斗開始後有後備部隊以不變的速率 增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負.
解:用 表示甲、乙交戰雙方時刻t的士兵人數,則正規戰爭模型可近似表示為:

現求(1)的解: (1)的系數矩陣為

.
再由初始條件，得

又由
其解為
(1)
即乙方取勝時的剩餘兵力數為
又令
注意到 .
(2) 若甲方在戰斗開始後有後備部隊以不變的速率 增援.則

相軌線為
此相軌線比書圖11中的軌線上移了 乙方取勝的條件為
第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4節建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、恆速靜脈滴注（持續時間為 ）和口服或肌肉注射3種給葯方式下求解血葯濃度，並畫出血葯濃度曲線的圖形.

解: 設給葯速率為

(1)快速靜脈注射: 設給葯量為 則
(2)恆速靜脈滴注(持續時間為 ): 設滴注速率為 解得

(3) 口服或肌肉注射:

3種情況下的血葯濃度曲線如下：

第五章3（2008年11月18日）
8. 在5.5節香煙過濾嘴模型中,
(1) 設
求
(2) 若有一支不帶過濾嘴的香煙,參數同上,比較全部吸完和只吸到 處的情況下，進入人體毒物量的區別.
解
，

(2) 對於一支不帶過濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為
只吸到 處就扔掉的情況下的毒物量為