數學三次危機
追求真理。
第一次：古希臘時代，由於不可公度的線段――無理數的發現與一些直覺的經驗想抵觸而引發的。
第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論後，對無窮小量的理解未及深透引起的。
第三次：是當羅素發現了集合論中的悖論，危及整個數學的基礎而引起的。
三次數學危機盡管當時對數學和哲學都造成了巨大的影響，給當時某個時期造成了某種困境，然而由於一直未妨礙數學的發展與應用。反而在困境過後去，給數學的發展帶來了新的生機。
(1)數學三次危機擴展閱讀：
數學形成時期，這是人類建立最基本的數學概念的時期。人類從數數開始逐漸建立了自然數的概念，簡單的計演算法，並認識了最基本最簡單的幾何形式，算術與幾何還沒有分開。
初等數學，即常量數學時期。這個時期的基本的、最簡單的成果構成中學數學的主要內容。這個時期從公元前5世紀開始，也許更早一些，直到17世紀，大約持續了兩千年。這個時期逐漸形成了初等數學的主要分支：算數、幾何、代數。
現代數學。現代數學時期，大致從19世紀初開始。數學發展的現代階段的開端，以其所有的基礎--------代數、幾何、分析中的深刻變化為特徵。
2. 三次數學危機分別是什麼
數學發展史上的三次危機
1.畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2
的誕生。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。由兩千多年後的數學家們建立的實數理論才消除它。
2.第二次數學危機導源於微積分工具的使用。貝克萊一針見血地指出牛頓在對x^n(n是正整數)求導時既把△x不當做0看而又把△x當作0看是一個嚴重的自相矛盾，從而幾乎使微積分停滯不前，後來還是柯西和魏爾斯特拉斯等人提出無窮小是一個無限向0靠近，但是永遠不等於0的變數，這才把微積分重新穩固地建立在嚴格的極限理論基礎上，從而消滅的這次數學危機！
3.十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。比如ZF公理系統。這一問題的解決只現在還在進行中。羅素悖論的根源在於集合論里沒有對集合的限制，以至於讓羅素能構造一切集合的集合這樣「過大」的集合，對集合的構造的限制至今仍然是數學界里一個巨大的難題！
3. 什麼是數學的第三次危機能具體點嗎
【數學的第三次危機】
在科學技術中，當一種反常現象與通常理論發生沖突時，就會出現理論方面的危機。在數學發展史上，已經經歷了三次危機: 公元前5世紀，由於古希臘畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了無理數而與該學派所信奉的"一切數皆可用有理數來表示"相矛盾，從而導致了第一次的危機; 在18世紀，由於牛頓，萊布尼茲等人在早期微積分工作中缺乏堅實的理論基礎而出現了第二次危機; 到了19世紀下葉，康托創立了集合論，按理這是數學史上的一大進步。但是在集合論的研究過程中，卻出現了數學史上的第三次危機。這次危機是由於集合論的悖論所引起的。所謂悖論就是邏輯矛盾。集合論本來是論證十分嚴格的一個數學分支。1903年，英國邏輯學家，數學家，諾貝爾和平獎獲得者羅素卻對集合論提出了以他的名字命名的"羅素悖論"。後來，他用一個"理發師悖論"來形象地說明自己的悖論: 一個鄉村理發師宣布一項原則: 他給而且只給本村那些不給自己刮臉的人刮臉。於是就產生了一個問題: 他給自己刮臉嗎? 很顯然，在邏輯上，他無論怎樣做，都會違背自己的原則。用集合論的語言可以把這一悖論表述如下: N是一個集合，它是由那些不屬於元素x自身的元素組成，即N={x|x不屬於x}。那麼，N是否屬於集合N呢? 顯然，無論在什麼情況下都是自相矛盾的。由於19世紀末嚴格的微積分理論的建立，第一，二次的危機已經解決。然而，建立嚴格的微積分的理論基礎是集合論，而集合論的誕生卻又偏偏出現了"羅素悖論"，因而數學面臨著更嚴重的危機，其理論基礎也發生了動搖。20世紀初，羅素悖論構成的危機確實震撼了國際數學界，但是，有危機並非總是壞事，在科學中，理論的突破是通過科學革命實現的，而科學革命則往往是由危機促成的。危機是科學中新理論出現的前奏。後來的事實也證明了這一點。羅素悖論的提出，促使
更多的科學家去研究集合論的無矛盾問題，從而產生了數理邏輯的一個重要分支------ 公理集合論。目前已形成了幾個學派，各有各的看法，也各有各的道理。眾說紛紜，莫衷一是。正如實現的其它分支一樣，還有不少重大課題有待人們去發現和研究。
4. 數學歷史上的三次危機是什麼
第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是「荒謬」和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。不可通約量的研究開始於公元前4世紀的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收人他的《幾何原本》中。第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。微積分的形成給數學界帶來革命性變化，在各個科學領域得到廣泛應用，但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變數，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，而且把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
第二次數學危機的解決使微積分更完善。
第三次數學危機，發生在十九世紀末。當時英國數學家羅素把集合分成兩種。
第一種集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二種集合：集合本身是它的一個元素A∈A，例如一切集合所組成的集合。那麼對於任何一個集合B，不是第一種集合就是第二種集合。
假設第一種集合的全體構成一個集合M，那麼M屬於第一種集合還是屬於第二種集合。
如果M屬於第一種集合，那麼M應該是M的一個元素，即M∈M，但是滿足M∈M關系的集合應屬於第二種集合，出現矛盾。
如果M屬於第二種集合，那麼M應該是滿足M∈M的關系，這樣M又是屬於第一種集合矛盾。
以上推理過程所形成的俘論叫羅素悖論。由於嚴格的極限理論的建立，數學上的第一次第二次危機已經解決，但極限理論是以實數理論為基礎的，而實數理論又是以集合論為基礎的，現在集合論又出現了羅素悖論，因而形成了數學史上更大的危機。從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。這場數學危機到此緩和下來。數學危機給數學發展帶來了新的動力。在這場危機中集合論得到較快的發展，數學基礎的進步更快，數理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現，而且今後仍然會這樣。
5. 數學史上的三次數學危機分別是什麼
數學史上的三次數學危機分別發生在公元前5世紀、17世紀、19世紀末，都是發生在西方文化大發展時期。因此，數學危機的發生，都有其一定的文化背景。
這三次數學危機分別是：
第一次：古希臘時代，由於不可公度的線段――無理數的發現與一些直覺的經驗想抵觸而引發的；
第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論後，對無窮小量的理解未及深透引起的；
第三次：是當羅素發現了集合論中的悖論，危及整個數學的基礎而引起的。
三次數學危機盡管當時對數學和哲學都造成了巨大的影響，給當時某個時期造成了某種困境，然而由於一直未妨礙數學的發展與應用。反而在困境過後去，給數學的發展帶來了新的生機。
6. 數學史上的三次危機是什麼
數學三大危機，涉及無理數、微積分和集合等數學概念。
1、危機一，希巴斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即2的2次方根）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。
2、危機二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。
3、危機三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S屬於S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論。
(6)數學三次危機擴展閱讀：
排除悖論
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。
公理化集合系統
成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。
參考資料網路-數學三大危機
7. 什麼是數學發展史上的三次危機
無理數的發現——第一次數學危機
簡單的說就是古時代的人把數字與實際世界中的距離概念對應起來，有人認為任何距離都可以表述為M/N，M,N均為整數，畢竟無限循環小數都可以寫成這樣的分數形式，所以很多人對這一概念抱有信心。直到後來有人發現邊長為1的正方形的對角線長度不能用這樣的數來描述，大家對這一現象感覺很奇妙，導致了對數的概念的反思。
無窮小是零嗎——第二次數學危機
早期的微積分創造者如牛頓喜歡在他的作品中把速度寫成類似v=limt->0 (x/t)的形式，由於牛頓當時沒有給出這個lim t->0的較好的定義，所以受到了很多懷疑，如一個當時富有知識的主教就指責其中概念不清。
悖論的產生---第三次數學危機
假如一個理發師說：「我給村裡不給自己理發的人理發」。
仔細思考一下這個句子，是不是很有意思呢？
由於當時的數學基礎使用最基礎的概念是集合。這句話使用集合論表述存在許多問題，後來就展開了邏輯以及數學基礎的大討論。
8. 數學史上發生過三次危機，這三次危機是怎麼回事
在數學歷史上，有三次大的危機深刻影響著數學的發展，三次數學危機分別是：無理數的發現、微積分的完備性、羅素悖論。
第一次數學危機
第一次數學危機發生在公元400年前，在古希臘時期，畢達哥拉斯學派對“數”進行了定義，認為任何數字都可以寫成兩個整數之商，也就是認為所有數字都是有理數。
羅素悖論通俗描述為：在某個城市中，有一位名譽滿城的理發師說：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。”那麼請問理發師自己的臉該由誰來刮？
羅素悖論的提出，引發了數學上的又一次危機，數學家辛辛苦苦建立的數學大廈，最後發現基礎居然存在缺陷，數學家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個公理化集合論體系的建立，才彌補了集合論的缺陷。
雖然三次數學危機都已經得到了解決，但是對數學史的影響是非常深刻的，數學家試圖建立嚴格的數學系統，但是無論多麼小心，都會存在缺陷，包括後來發現的哥德爾不完備性定理。
9. 數學史上的三次危機
第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生於大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標志。這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關於無理數的研究的開始。
第二次數學危機，指發生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數相關的理論系統，同時基本解決了第一次數學危機的關於無窮計算的連續性的問題，並且將微積分的應用推向了所有與數學相關的學科中。
數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托爾的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
(9)數學三次危機擴展閱讀：
一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。