海淀高三期末數學

Ⅰ 2013年海淀區高三期末數學 其中兩道題求詳解

6.C
13.不等式組所表示的區域是以(0，1)、(0，3)、(1，2)為定點的等腰直角三角形的內部。(0，3)點到直線的距離是P(x,y)到直線kx-y-1=0的最大距離，|-3-1|/√(1+k^2)=2√2
4/√(1+k^2)=2√2
√(1+k^2)=√2
1+k^2=2
k^2=1
k=±1

Ⅱ 09屆 海淀高三期末 文科數學試題

北京市海淀區高三年級第二學期期末練習
數學（文科）

注意事項：
1．答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。
2．第i卷每小題選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。第ii卷各小題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試題卷上。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1． 若集合 ，則b∪（ ）等於 （ ）

a．{5} b．{1，2，5} |?~Y0`QHa')2d~V: [ 本 資 料 來 源 於 貴 州 學 習 網 高考頻道試題寶庫 http://www.gzU521.com ] |?~Y0`QHa')2d~V:
c．{1，2，3，4，5} d．
2．等差數列{ }的公差d<0，且 ，則數列{ }的通項公式是 （ ）
a． b．
c． d．

3．若函數 +1的反函數是 ，則函數 的圖象大致是 （ ）

a． b． c． d．
4．雙曲線 的焦距是10，則實數m的值為 （ ）
a．－16 b．4 c．16 d．81
5．若α、β是兩個不同平面，m、n是兩條不同直線，則下列命題不正確的是 （ ）
a． 則
b．m‖n，m⊥α，則n⊥α
c．n‖α，n⊥β，則α⊥β
d．α∩β=m，n與α、β所成的角相等，則m⊥n
6．若 ，則下列不等式中一定成立的是 （ ）
a． b．
c． d．
7．某科技小組有四名男生兩名女生. 現從中選出三名同學參加比賽，其中至少有一名女生
入選的不同選法種數為 （ ）
a． b． c． d．
8．若 ，則「 」是「 」的
（ ）
a．充要條件 b．充分不必要條件
c．必要不充分條件 d．既不充分又不必要條件
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.
9．不等式 的解集為 .
10．將圓 按向量 =（1，－2）平移後，得到圓c′，則圓c′的半徑為 ，其圓心坐標為 .
11．在同一時間內，對同一地域，市、區兩個氣象台預報天氣准確的概率分別為 、 ，
兩個氣象台預報准確的概率互不影響，則在同一時間內，至少有一氣象台預報准確的概率是 .

12．如圖，邊長均為2的正方形abcd與正方形abef構成60°的二面角d—ab—f，則點d到點f的距離為 ，點d到平面abef的距離為 .
13．若函數 的定義域為r，
則 的值為 .

14．對大於或等於2的自然數m的n次冪進行如下方式的「分裂」

仿此，52的「分裂」中最大的數是 ，若 的「分裂」中最小的數是21，則m的值為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．（本小題共13分）
已知函數
（1）求函數 的最小正周期和最大值；
（2）函數 的圖象可由 ）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得
到？

16．（本小題共13分）
已知函數 、 ），函數 的圖象在點（2， ）處的切線與x軸平行.
（1）用關於m的代數式表示n；
（2）當m=1時，求函數 的單調區間.

17．（本小題共14分）

如圖：三棱錐p—abc中，pb⊥底面abc，∠bac=90°，pb=ab=ac=4，點e是pa的中點.
（1）求證：ac⊥平面pab；
（2）求異面直線be與ac的距離；
（3）求直線pa與平面pbc所成的角的大小.

18．（本小題共13分）
平面直角坐標系中，o為坐標原點，已知兩定點a（1，0）、b（0，－1），動點p（ ）滿足： .
（1）求點p的軌跡方程；
（2）設點p的軌跡與雙曲線 交於相異兩點m、n. 若以
mn為直徑的圓經過原點，且雙曲線c的離心率等於 ，求雙曲線c的方程.

19．（本小題共13分）
數列 的前n項和為 對任意的 都成立，其中m為常數，且m<－1.
（1）求證：數列 是等比數列；
（2）記數列 的公比為q，設 若數列 滿足；
）. 求證：數列 是等差數列；
（3）在（2）的條件下，設 ，數列 的前n項和為 . 求證：

20．（本小題共14分）
函數 的定義域為r，並滿足以下條件：
①對任意 ，有 ；
②對任意 、 ，有 ；
③
（1）求 的值；
（2）求證： 在r上是單調增函數；
（3）若 ，求證：

北京市海淀區高三年級第二學期期末練習
數學（文科）答案

一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）
1．b 2．d 3．a 4．c 5．d 6．a 7．c 8．b
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9． 10． （2分） （0，0）（3分） 11．0.98
12．2（2分） （3分） 13．－6 14．9（2分） 5（3分）
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（共13分）解：（1） …………2分
）………………………………4分
∴t= …………………………………………………………6分
（2）先將 ）的圖象向左移 個單位，得到 的圖象；再將 的圖象的橫坐標變為原來的一半，縱坐標不變，得到 的圖象.…………………………13分
或先將 ）的圖象的橫坐標變為原來一半，縱坐標不變，得到函數
的圖象；再將 的圖象向左移 個單位，得到 的圖象.………………………………13分
16．（共13分）解：（1） ………………2分
由已知條件得： ∴3m+n=0 ………………4分 ∴n=－3m…………6分
（2）若m=1，則n=－3……………………7分
，令 ………………8分
或 ………………10分 令 ………12分

∴ 的單調遞增區間為（－∞，0），（2，+∞）
∴ 的單調遞減區間為（0，2）.………………………………13分
17．（共14分）
解法一：（1）∵三棱錐p—abc中，pb⊥底面abc，∠bac=90°
∴pb⊥ac，ba⊥ac……………………4分
∵pb∩ba=b ∴ac⊥平面pab………………4分
（2）∵pb=ba=4，點e是pa的中點
∴be⊥ea………………5分 又∵ea 平面pab
由（1）知ac⊥ea………………6分
∴ea是異面直線be、ac的公垂線段…………7分
∵pb⊥ab ∴△pba為直角三角形…………8分
∴ea= pa= ×4 =2 ∴異面直線be與ac的距離為2 .………………9分
（3）取bc中點d，連結ad、pd ∵ab=ac=4，∠bac=90°
∴bc⊥ad ad=2 ∵pb⊥底面abc，ad 底面abc
∴pb⊥ad ∵pb∩bc =b ∴ad⊥平面pbc………………11分
∴pd為pa在平面pbc內的射影 ∴∠apd為pa與平面pbc所成角.…………………12分
在rt△adp中， ……………………13分
∴∠apd=30° ………………14分 ∴pa與平面pbc所成角大小為30°.
解法二：（1）同解法一…………………………4分
（2）同解法一……………………………9分
（3）過點a作ad//pb，則ad⊥平面abc

如圖，以a為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則a（0，0，0），b（－4，0，0），c（0，4，0），
p（－4，0，4）………………10分
………………11分
設平面pbc的法向量
……………………12分
=（1，－1，0） =（4，0，－4），設直線pa與平面pbc所成角為
sin =cos< , > …………………………13分
∴直線pa與平面pbc所成角的大小為30° ………………14分
18．（共13分）解：（1） …………2分
即點p的軌跡方程為 …………4分
（2）由 得： =0
∵點p軌跡與雙曲線c交於相異兩點m、n ，
且
設 ，則 …………6分
∵以mn為直徑的圓經過原點 即：
即
即 ①…………………8分
②………………10分
∴由①、②解得 符合（*）式
∴雙曲線c的方程為 ………………………………13分
19．（共13分）證明：（1）當n=1時， …………………………1分
① ②……………2分
①－②得： ……………………3分
…………………………4分
∴數列 是首項為1，公比數 的等比數列.……………………4分
（2） …………7分
……………………9分
∴數列{ }是首項為1，公差為1的等差數列.
（3）由（2）得 n 則 ……10分 ……11分
………………12分
…………………………13分
20．（共14分）解法一：（1）令 ，得： ……………1分
…………………………3分
（2）任取 、 ，且 . 設 則
……………………4分
在r上是單調增函數……10分
（3）由（1）（2）知
………11分
而 ……14分
解法二：（1）∵對任意x、y∈r，有
………1分 ∴當 時 ……2分
∵任意x∈r， …………3分 ……………………4分
（2） …………………………6分
是r上單調增函數 即 是r上單調增函數；………10分
（3） ……………………11分
而
……………………14分
說明：其它正確解法按相應步驟給分.