如何解一元三次方程

A. 怎樣解一元三次方程

解一元三次方程的辦法有以下幾種。
1、分解因式法：例如，X^3+2X^2-5X-6=0，分解因式得：（X+1）（X-2）（X+3）=0，X1=-1，X2=2，X3=3。
2、通搜豎衡過化纖猛簡合並等方法降次、減次。例如，3X^3+6X^2-7X=0,化簡世做：3X^2+6X-7=0.等等

B. 如何解一元三次方程

解一元三次方程的方法如下：

1、公式法

若用A、B換元後，公式可簡記為：

x1=A^（1/3）+B^（1/3）。

x2=A^（1/3）ω+B^（1/3）ω^2。

x3=A^（1/3）ω^2+B^（1/3）ω。

2、判別法

當△=（q/2）^2+（p/3）^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根。

當△=（q/2）^2+（p/3）^3=0時，有三個實根，其中兩個相等。

當△=（q/2）^2+（p/3）^3<0時，有三個不相等的實根。

C. 一元三次方程怎麼解

一元三次方程的解法如下：
有的一元三次方程，一邊是零，另一邊可以化為三個一次的含有未知數的式子，我們可以把方程化為三個一次式子，再橘清令每個因式分別為零，最後解得這個配伍盯方程的三個根。培和
一元三次方程，一般含有三個根。
希望我能幫助你解疑釋惑。

D. 如何快速解一元三次方程

快速解一元三次方程方法如下：

1、做變換，差根變換，可以用綜合除法。

2、化為不含二次項的一元三次方程。

3、想法把一元三次方程化成一元二次方程，關於u，v的三次方的二次方程，解出u，v。

4、求出三個根，即可得出一元三次方程三個根的求根公式。

相關資料：

一元三次方程有三種解法，包括卡爾丹公式法、盛金公式法和因式分解法。簡單地說就是公式法和因式分解法。和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之處，公式法適用於一切方程，而因式分解法一般只適用於存在有理數根的方程。

當然三次方程應用因式分解法的主要目的是為了降次，因此它也有可能在存在無理根或復數根時使用因式分解法。

對於標准型納讓的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所舉的例子屬於a=1， b=0，c=0的特殊形式。當b，c至少有一個不等於0時，一元三次方程就不一定能分解出一個有理根。

所以因式分解法並不一定適用於所有一元三次方程。這時洞棚局候如果想要使用因式分解法，就必須滿足存在有理根的條和清件，否則很難因式分解。

E. 一元三次方程怎麼解決

一元三次方程的標准形式為ax^3+bx^2+cx+d=0，將方程兩邊同時除以最李頌橡高項系數a,三次方哪旁程變為x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,所以三次方程又可簡寫為x^3+bx^2+cx+d=0．

一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解．

拓展資料:

只 含有一個 未知數（即「元」），並且未知數的最高次數為3（即「次」）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。

一元櫻缺三次方程的標准形式（即所有一元三次方程經整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d為 常數， x為未知數，且 a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在復雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀， 效率更高。

F. 一元三次方程怎麼解

郭敦榮回答：

一元三次方程求根公式：
http://ke.so.com/doc/5568385-5783548.html
標准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，其解法有:1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法;2、中國學者范盛金於1989年發表的盛金公式法。
兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。
公式法(卡爾丹公式)
(如右圖所示)
若用A、B換元後，公式可簡記為:
x1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/沖悉3)ω^2+B^(1/3)ω。
折疊判別法
當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根;
當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等;
當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。
折疊推導
第一步:
ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)
為了方便，約去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3，
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，
(y-k/3)^3中的y^2項系數是-k ，
k(y-k/3)^2中的y^2項系數是k ，
所以相加後y^2抵消，
得到y^3+py+q=0，
其中p=-k^2/3+m，
q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第二步:
方程x^3+px+q=0的三個根為:
x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);
x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);
x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，
其中w=(-1+i√3)/大明2。
×推導過程:
1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2;
2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變滾判告成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。
設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得:
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，
如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，
由一元二次方程韋達定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。
解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
不妨設A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
則u^3=A;v^3=B，
u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2;
v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，
但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解:
u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3);
u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;
u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，
最後:
方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即
x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

一元三次方程x^3+px+q=0，(p，q∈R)的求根公式是1545年由義大利學者卡爾丹發表在《關於代數的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式(有的數學資料叫"卡丹公式")。可是事實上，發現公式的人並不是卡爾丹(卡丹)本人，而是塔塔利亞(Tartaglia N.，約1499~1557)。發現此公式後，曾據此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在義大利名聲大震。醫生兼數學家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的消息後，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當時學者們通常不急於把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰比賽，或等待懸賞應解，以獲取獎金。盡管卡爾丹千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶。可是後來，由於卡丹一再懇切要求，而且發誓對此保守秘密，於是塔塔利亞在1539年把他的發現寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡丹，但是並沒有給出詳細的證明。卡丹並沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術》一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道:"這一解法來自於一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。"從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。塔塔利亞知道卡丹把自己的秘密公之於眾後，怒不可遏。按照當時人們的觀念，卡丹的做法無異於背叛，而關於發現法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。於是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。許多資料都記述過塔塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發現的;卡丹沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責，卡丹錯有應得，但是卡丹在公布這一解法時並沒有把發現這一方法的功勞歸於自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發現，所以算不上剽竊;而且證明過程是卡丹自己給出的，說明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作對塔塔利亞泄露給他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之於世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進程。不過，公式的名稱，還是應該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式;稱為卡丹公式是歷史的誤會。一元三次方程應有三個根。塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年後，隨著人們對虛數認識的加深，到了1732年，才由瑞士數學家歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達式。
塔爾塔利亞是義大利人，出生於1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結結巴巴，人們就給他一個綽號"塔爾塔利亞"(在義大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學成才，成了數學家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時，義大利數學家卡丹出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。後來卡丹對塔爾塔利假裝說要推薦他去當西班牙炮兵顧問，並稱自己有許多發明，唯獨無法解三次方程而內心痛苦。還發誓，永遠不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡丹。六年以後，卡丹不顧原來的信約，在他的著作《關於代數的大法》中，將經過改進的三次方程的解法公開發表。後人就把這個方法叫作卡丹公式，塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以後被埋沒了一樣。
塔爾塔利亞對卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對方。最終在一個不明的夜晚，卡丹派人秘密刺殺了塔爾塔利亞。
至於一元四次方程ax^4+bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡丹的學生費拉里找到了。
關於三次、四次方程的求根公式，因為要涉及復數概念，復數是指能寫成如下形式的數a+bi,這里a和b是實數，i是虛數單位(即-1開根)。由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。復數有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是復變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。
一元三次、四次方程求根公式找到後，人們在努力尋找一元五次方程求根公式，三百伽羅華年過去了，但沒有人成功，這些經過嘗試而沒有得到結果的人當中，不乏有大數學家。
後來年輕的挪威數學家阿貝爾於1824年所證實， n次方程(n≥5)沒有公式解。不過，對這個問題的研究，其實並沒結束，因為人們發現有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那麼又是什麼樣的一元n次方程才沒有求根公式呢?
不久，這一問題在19世紀上半期，被法國天才數學家伽羅華利用他創造的全新的數學方法所證明，由此一門新的數學分支"群論"誕生了。
置換群解法
一元三次方程 系數和根的關系如下:
求出X,Y，後有
這是個線性方程，其中
為原方程的三個根!

上面一元三次方程解法的公式法，是理論性的，不論哪個方法在操作上都是很復雜的。如果只求其實數根，可用嘗試—逐步逼近法求解。
本題給出的一元三次方程是：
S^3+4S²+3S+2=0
用嘗試—逐步逼近法求解上方程，
顯然，S＜0，
當S=－3時，S^3+4S²+3S+2=2；
當S=－3.1時，S^3+4S²+3S+2=1.349；
當S=－3.3時，S^3+4S²+3S+2=－0.277；
當S=－3.29時，S^3+4S²+3S+2=－0.185；
當S=－3.27時，S^3+4S²+3S+2=－0.004；
當S=－3.2695時，S^3+4S²+3S+2=0.000，
∴S=－3.2695。

G. 解一元三次方程的方法

導語：解一元三次方程問題是世界數學史上較談春著名且較為復雜而又有趣味的問題，虛數概念的引進、復數理論的建立，就是起源於解三次方程問題。一元三次方程應用廣泛，如電力工程、水利工程、建築工程、機械工程、動力工程、數學教學及其他領域等。那麼，以下是我分享給大家的關於解一元三次方程的方法，歡迎大家的參考學習!

解一元三次方程的方法

解法嘩橘一是義大利學者卡爾丹發表的卡爾丹公式法。

解法二是中國學者范盛金發表的盛金公式法。

這兩種方法都可以解答標准型的一元三次方程，但是卡爾丹公式解題方便。

相關內容：

一元三次方程的解法的歷史

人類很早就掌握了一元二次方程的解法，但是對一元三次方程的研究，則是進展緩慢。古代中國、希臘和印度等地的.數學家，都曾努力研究過一元三次方程，但是他們所發明的幾種解法，都僅僅能夠解決特殊形式的三次方程，對一般形式的三次方程就不適用了。

在十六世紀的歐洲，隨著數學的發展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多數學文獻上，把三次方程的求根公式稱為“卡爾丹諾公式”，這顯然是為了紀念世界上第一位發表一元三次方程求根公式的義大利數學家卡爾丹諾。那麼，一元三次方程的通式解，是不是卡爾丹諾首先發現的呢?歷史事實並不是這樣。

數學史上最早發現一元三次方程通式解的人，是十六世紀義大利的另一位數學家尼柯洛?馮塔納(Niccolo Fontana)。 馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終於自學成才，成為十六世紀義大利最有成就的學者之一。由於馮塔納患有“口吃”症，所以當時的人們昵稱他為“塔爾塔里亞”(Tartaglia)， 也就是義大利語中“結巴”的意思。後來的很多數學書中，都直接用“塔爾塔里亞”來稱呼馮塔納。

經過多年的探索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個成就，使他在幾次公開的數學較量中大獲全勝，從此名揚歐洲。但是馮塔納不願意將他的這個重要發現公之於世。

當時的另一位義大利數學家兼醫生卡爾丹諾，對馮塔納的發現非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教，希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹含蘆耐諾屢次受挫，但他極為執著，軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。後來，馮塔納終於用一種隱晦得如同咒語般的語言，把三次方程的解法“透露”給了卡爾丹諾。馮塔納認為卡爾丹諾很難破解他的“咒語”，可是卡爾丹諾的悟性太棒了，他通過解三次方程的對比實踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。

卡爾丹諾把馮塔納的三次方程求根公式，寫進了自己的學術著作《大法》中，但並未提到馮塔納的名字。隨著《大法》在歐洲的出版發行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由於第一個發表三次方程求根公式的人確實是卡爾丹諾，因此後人就把這種求解方法稱為“卡爾丹諾公式”。

卡爾丹諾剽竊他人的學術成果，並且據為已有，這一行為在人類數學史上留下了不甚光彩的一頁。這個結果，對於付出艱辛勞動的馮塔納當然是不公平的。但是，馮塔納堅持不公開他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對於人類科學發展而言，是一種不負責任的態度。

H. 一元三次方程的解法有哪些

三次方程絕非好解的，很多方程，都是經過精心設計，各項系數配合得很好，求解過程才變得容易。以下是由我為大家整理的「一元三次方程的解法有哪些」，僅供參考，歡迎大家閱讀。

一元三次方程的一般形式ax^3+bx^2+cx+d=0是很難解的!數學上要用 換元法 ，把原方程換成一個「缺項」的方程，也就是新方程中沒有二次項的。設x=y-b/3a，將它代進去，就可以得到一個新的方程y^3+py+q=0，這個方程最重要的是沒有二次項，至於p和q是多少，你可以代進去算。

對於這個y^3+py+q=0，可用 待定系數法 。實際上，求出的方程的根y將會有y=A+B的形式，A和B為待定系數，y^3=(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)，整理得到

y^3-3AB(A+B)-(A^3+B^3)=0

把這兩道方程比較，可得到一個二元方程組

-3AB=p

-(A^3+B^3)=q

把A和B解出來，由於上面已經設y=A+B，所以就可以把y解出來。而最初設x=y-b/3a，就可以把x解出來，這是原方程的解。

一般形式

一元三次方程的一般形式是 ax^3+bx^2+cx+d=0 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d=0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。 如果作一個橫坐標平移 y=x+b/3a，那麼我們就可以把方程的二次項消去。所以我們只要考慮形如 x^3=px+q 的三次方程。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公沒改態式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

(1)將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以(2)可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可枯源知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q，化簡得

(6)A+B=-q，AB=-(p/3)^3

(7)這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以殲鋒看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即

(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)對比(6)和(8)，可令A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a

(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為 y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a) y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a) 可化為

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 將(9)中的A=y1，B=y2，q=b/a，-(p/3)^3=c/a代入(11)可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2) B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3) 式

(14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了

總結

一元三次方程的解法即只含有一個未知數(即「元」)，並且未知數的最高次數為3(即「次」)的整式方程叫做一元三次方程。可根據不同情況時有換元法和待定系數法。

I. 一元三次方程解法

一元三次方程解法具體如下：

1、對於一般形式的一元三次方程。

一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解．

拓展資料:

只 含有一個 未知數（即「元」），並且未知數的最高次數為3（即「次」）的整式方程叫作一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。

一元三次方程的標准形式（即所有一元三次方程經整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d為 常數， x為未知數，且 a≠0）。

一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在復雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀， 效率更高。

J. 一元三次方程怎麼解

一元三次方爛宏程的求解公式的解法只能用歸納思閉沒維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。

解題方法

一元三次方程

只含有一個未知數（即「元」），並且未知數的最高次數為3（即「次」）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元二次方程的標准形式（即所有一元一次方程經整理都能得到的形式）是ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d為常數，x為未知數，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在復雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀，效率更高。

一元三次方程求根公式

公式法

若用A、B換元後，公式可簡記為：

x1=A^(1/3)+B^(1/3)；

x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；

x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

判別法

當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等；

當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的飢態冊實根。