雙曲線教學設計

❶ 反比例函數的圖像和性質教案

反比例函數的圖像和性質教案（精選8篇）

在教學工作者實際的教學活動中，時常要開展教案准備工作，教案有助於順利而有效地開展教學活動。那麼問題來了，教案應該怎麼寫？以下是我收集整理的反比例函數的圖像和性質教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

反比例函數的圖像和性質教案 篇1

一、教材依據

人教版八年級第十七章《反比例函數》

二、設計思路

(一)教材分析

本節課講述內容是在理解反比例函數的意義和概念、掌握了反比例函數的畫法的基礎上學習的，反比例函數的圖象與性質的探索是對函數概念的深化，同時也是下一節反比例函數應用的基礎，有了本節課的知識儲備，便於學生利用函數的觀點、數形結合的思想來處理問題和解釋問題。

(二)教學方法

鑒於教材特點及初二學生的年齡特點、心理特徵和認知水平，設想通過教師引導，學生積極「探究——討論——交流——總結」，同時在教學中通過演示，操作，觀察，練習等師生的共同活動，讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養學生觀察能力、直覺思維能力。

(三)學法指導

本堂課立足於學生的「學」，要求學生多動手，多觀察，從而可以幫助學生形成分析、對比、歸納的思想，體會數形結合的思想。在對比和討論中讓學生在「做中學」，提高學生利用已學知識去主動獲取新知識的能力。

三、教學目標

(一)知識目標

探索並掌握反比例函數的主要性質，逐步提高從函數圖象獲取信息的能力，體會數形結合的思想

(二)能力目標

通過觀察圖象，概括反比例函數的有關性質，訓練學生的概括、總結能力

(三)情感與價值觀

讓學生積極參與到數學學習活動中，增強他們對數學學習的好奇心與求知慾

四、教學重點

探索反比例函數的性質，體會數形結合的思想

五、教學難點

反比例函數的圖象特點及性質的探索

六、教學准備

學生課前將函數圖象畫在黑板上(兩個)

七、教學過程

反比例函數的圖象與性質(二)教學案

(一)學習目標：

1、探究反比例函數的性質

2、體驗數形結合的數學思想

(二)自學及學法指導：

1、用列表法畫函數y=和的圖象(學生課前板畫在黑板上)

2、結合P41函數和的圖象和黑板所畫圖象思考下列問題(小組討論完成)

(1)所畫的圖象是什麼形狀?

(2)每個函數的圖象分別位於哪幾個象限?

(3)在每個象限內y隨x的變化是如何變化的?

(4)圖象與x軸、y軸能相交嗎?為什麼?

3、歸納總結：反比例函數的性質(小組輪流回答)

(1)反比例函數(k為常數，k≠0)的圖象是

(2)當k>0時，雙曲線的兩分支分別位於象限__在每個象限內，y值隨x值的增大而___

(3)當k<0時，雙曲線的兩分支分別位於象限___，在每個象限內，y值隨x值的增大而___

八、教學反思

通過本節課教學，我認為滿意的地方有：

1、課堂中，我營造了寬松的學習氛圍，讓學生參與到學習過程中，同時注重了學生的合作交流，在學生嘗試探索反比例函數的性質前和後都安排了同桌交流、小組合作交流，之後又鼓勵學生上講台交流，讓學生在不斷交流中掌握反比例函數的性質，體會樹形結合的思想。

2、在處理課堂練習時，讓學生選擇自己喜歡的問題來回答，照顧了學生的個體差異，關注了學生的個性發展;讓學生充當老師講解自己的觀點，使我看到學生的智慧，聽到了富有思想的回答，讓人忍不住為他們鼓掌。在學習的過程中讓學生覺得數學的簡單，不僅是一種技巧，更是一種智慧，只有這樣，才能極大地釋放孩子的潛能。

今後應注意以下幾個方面：

1、教學觀念還要不斷更新，更大限度地把時間還給學生，把課堂還給學生，實現——人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。

2、對數學學習的評價不僅要關注學生學習的結果，更要關注他們學習的過程，幫助學生認識自我，建立信心。

3、這節課如果能利用多媒體課件，例題的展示將會更快，整節課將會更加豐滿。

反比例函數的圖像和性質教案 篇2

一、教材分析：

本節課學習的主要內容是畫反比例函數的圖象，讓學生經歷畫圖、觀察、猜想、思考等數學活動，初步認識具體的反比例函數圖象的特徵。反比例函數的圖象是在學生已經知道了研究函數圖象的一般方法，以及一次函數的圖象是一條直線的基礎之上進一步去研究的。同時，反比例函數的圖象也與眾不同。針對教材及學生的實際情況，本節課的設計是讓學生多動手去探索規律。

二、教學目標：

知識與技能：

(1)作反比例函數的圖象。

(2)掌握反比例函數的圖象與性質。

過程與方法：

逐步提高從函數圖象中獲取信息的能力，和數形結合的能力。

情感、態度與價值觀:

培養學生積極參與，樂於探究，善於交流的意識和習慣。

三、教學重難點

教學重點：學習反比例函數圖象的畫法，概括反比例函數圖象的共同特徵。

教學難點：從反比例函數的圖象中歸納總結反比例函數的主要性質。

四、教學過程：

(一)創設情境、提出問題

我們已經知道一次函數的圖象是一條直線，那麼反比例函數(k為常數，k≠0)的圖象是什麼呢?猜猜看，應該怎麼畫呢?(讓學生根據已有的知識經驗，回憶畫函數圖象的一般方法與步驟，類比一次函數的圖象進行猜想)

(二)動手實踐、解決問題

1、畫圖:畫出反比例函數的圖象在教師的引導下，讓學生通過親自動腦、動手實踐去科學地驗證自己的猜想，培養學生科學的態度與精神。

師：畫函數圖象的第一個步驟是什麼?

生：列表。

師：(大屏幕投影：表格)根據前面學習一次函數的經驗，列表時應注意什麼?

生：應注意自變數x的取值范圍，本題當中x≠0。

師：是不是把所有的x不等於零的值全都列舉出來?

生：不是。

師：那怎麼取值呢?(學生討論)

生：為了便於計算和描點，我們通常取x>0和x<0的一些整數值。

師：(大屏幕投影)那麼，對應的y值分別是多少呢?(學生填表、口答答案。)

目的:讓學生回憶、類比，注意比較與畫一次函數的圖象時列表的相同點與不同點。

師：列表之後，我們得到了幾組x、y的對應值，即幾組有序實數對，如何用直角坐標系中的點把它們表示出來呢?也就是如何描點?

生：以表中x的值作為點的橫坐標，y的值作為點的縱坐標依次描點。

①學生描點

②教師利用多媒體課件演示描點的動畫過程。

友情提醒：描點可要細心哦!

目的:讓學生獨立描點，觀察描出的點的位置。培養學生細心的良好品質。

師：如何把描出的點連接起來，從而畫出它的圖象呢?

①學生連接。

②教師利用實物投影儀展示學生成果。

師：這里有同學們畫的一些反比例函數的圖象，我從中選出了四幅圖象，請同學們仔細觀察並進行討論這四幅圖象畫得對還是不對?如果不對，它們分別錯在哪裡?為什麼?(學生分析討論)

生：第一幅圖象是對的;第二、三、四幅圖象都是錯誤的，錯誤的原因是：沒有注意到自變數x的取值范圍是x≠0的全體實數師：一位同學有這樣一種想法：「在相鄰的兩點之間用線段來連接。」這種想法對嗎?如果不對，錯在哪裡?為什麼?學生分組討論。學生相互討論生：除了線段兩個端點的坐標滿足函數解析式之外，線段上其餘各點的坐標都不滿足函數解析式。所以用線段連接的方法是錯誤的。

師：除了已描好的點之外，你還能不能找到其它坐標滿足函數解析式的點，比如橫坐標在大於1小於2之間?

師：那麼，應當用什麼樣的線來連接呢?

生：應當用平滑的曲線順次連接。

目的:師生互動、生生互動，讓學生充分參與、經歷畫圖的過程，體會知識的形成過程;通過對學生畫圖個案的評析、多媒體課件填充點的過程演示、以及學生的認真觀察、思考，探索得出重要的結論：應當用平滑的曲線順次連接。學生自發的為自己發現的結論鼓掌，讓學生品嘗到成功的喜悅，增強學生的自信心。教師利用多媒體課件演示連接的過程：用平滑的曲線先順次連接第一象限內的各點，得到圖象的一個分支;然後再順次連接第三象限內的各點，得到圖象的另一個分支。把兩個分支組合在一起就得到了反比例函數的圖象。

2、猜想：反比例函數的圖象在什麼象限?請你在下面的平面直角坐標系內畫出它的圖象。

師：剛才，我們畫出了k=6時，反比例函數的圖象。請同學們猜想一下，k=-6時，反比例函數的圖象在什麼象限?為什麼?

生：圖象分布在二、四象限。由k=-6得xy=-6所以x、y異號所以反比例函數的圖象分布在二、四象限。

3、師：請同學們畫圖驗證自己的猜想。

4、①學生畫圖驗證

②相互交流成果檢驗自己的猜想是否正確。

目的:讓學生先類比k=6時，反比例函數的圖象的位置，猜想k=-6時，反比例函數的圖象的位置;然後，再獨立畫圖驗證自己的猜想。培養學生類比、猜想、說理、獨立畫圖驗證的能力。

師：(大屏幕投影：顯示畫圖象的全過程)請同學們觀察反比例函數的圖象，注意比較與一次函數圖象有哪些不同?討論反比例函數的圖象具有那些特徵(學生分組討論)

生：①一次函數的圖象是一條直線，反比例函數的圖象是由兩個分支組成的，而且都是曲線;

②一次函數的圖象與x、y軸有交點，反比例函數的圖象與x、y軸沒有交點;

③反比例函數的圖象的兩個分支關於原點成中心對稱。

④反比例函數的圖象的兩個分支被坐標軸隔開，它們可以無限地靠近x、y軸，但是永遠不能與x、y軸有交點;

師：反比例函數的圖象有許多的特徵，在今後的學習當中，我們會逐步地去認識它。

設計目的:通過觀察圖象並比較與一次函數圖象的不同點，讓學生初步認識具體的反比例函數圖象的特徵。)

五、本節課你學到了什麼?有哪些收獲?

生：①畫反比例函數的圖象的方法

②知道了反比例函數的圖象是雙曲線

③反比例函數的圖象不與坐標軸有交點

④反比例函數的圖象是中心對稱圖形

反比例函數的圖像和性質教案 篇3

教學目標：

1.能運用反比例函數的相關知識分析和解決一些簡單的實際問題。

2.在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數是刻畫現實世界中數量關系的一種數學模型。

教學重點

運用反比例函數解決實際問題

教學難點

運用反比例函數解決實際問題

教學過程：

一、情景創設

引例：小麗是一個近視眼，整天眼鏡不離鼻子，但自己一直不理解自己的眼鏡配製的原理，很是苦悶，近來她了解到近視眼鏡的度數y(度)與鏡片的焦距為x(m)成反比例，並請教師傅了解到自己400度的近視眼鏡鏡片的焦距為0.2m，可惜她不知道反比例函數的概念，所以她寫不出y與x的函數關系式，我們大家正好學過反比例函數了，誰能幫助她解決這個問題呢?

反比例函數在生活、生產實際中也有著廣泛的應用。

例如：在矩形中S一定，a和b之間的關系?你能舉例嗎?

二、例題精析

例1、見課本73頁

例2、見課本74頁

例3、某氣球內充滿一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p(千帕)是氣球體積V(米3)的反比例函數(1)寫出這個函數解析式(2)當氣球的體積為0.8m3時，氣球的氣壓是多少千帕?(3)當氣球內的氣壓大於144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積不小於多少立方米?

三、課堂練習

課本P74練習1、2題

四、課堂小結

反比例函數的應用

五、課堂作業

課本P75習題9.3第1、2題

反比例函數的圖像和性質教案 篇4

一、教學目標

1.使學生理解並掌握反比例函數的概念

2.能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，並會用待定系數法求函數解析式

3.能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想

二、重、難點

1.重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式

2.難點：理解反比例函數的概念

3.難點的突破方法：

(1)在引入反比例函數的概念時，可適當復習一下第11章的正比例函數、一次函數等相關知識，這樣以舊帶新，相互對比，能加深對反比例函數概念的理解

(2)注意引導學生對反比例函數概念的理解，看形式，等號左邊是函數y，等號右邊是一個分式，自變數x在分母上，且x的指數是1，分子是不為0的常數k;看自變數x的取值范圍，由於x在分母上，故取x0的一切實數;看函數y的取值范圍，因為k0，且x0，所以函數值y也不可能為0。講解時可對照正比例函數y=kx(k0)，比較二者解析式的相同點和不同點。

(3)(k0)還可以寫成(k0)或xy=k(k0)的形式

三、例題的意圖分析

教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從實際問題出發，探索其中的數量關系和變化規律，通過觀察、討論、歸納，最後得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。

教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目的一是要加深學生對反比例函數概念的理解，掌握求函數解析式的方法;二是讓學生進一步體會函數所蘊含的變化與對應的思想，特別是函數與自變數之間的單值對應關系。

補充例1、例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。補充例3是一道綜合題，此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問題的能力。

反比例函數的圖像和性質教案 篇5

教學設計思想

本節課是在學習了反比例函數的概念，反比例函數的圖像和性質等相關知識的基礎上引入的。首先創設問題情境，展示反比例函數在實際生活中的應用情況，激發學生的求知慾和濃厚的學習興趣。接下來主要討論了反比例函數在體積、面積這樣的實際問題中的應用。分析實際問題中變數之間的關系，建立反比例函數模型，進而解決問題。

教學目標

知識與技能

1.能靈活列反比例函數表達式解決一些實際問題。

2.能綜合利用幾何、方程、反比例函數的知識解決一些實際問題。

過程與方法

1.經歷分析實際問題中變數之間的關系，建立反比例函數模型，進而解決問題。

2.體會數學與現實生活的緊密聯系，增強應用意識，提高運用代數方法解決問題的能力。

情感態度與價值觀

體驗反比例函數是有效地描述現實世界的重要手段，認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具。

教學重難點

重點： 掌握從實際問題中建構反比例函數模型。

難點： 從實際問題中尋找變數之間的關系。關鍵是充分運用所學知識分析實際情況，建立函數模型，教學時注意分析過程，滲透數形結合的思想。

教學方法

啟發引導、合作探究

教學媒體

課件

教學過程設計

(一)創設問題情境，引入新課

[師]有關反比例函數的表達式，圖像的特徵我們都研究過了，那麼，我們學習它們的目的是什麼呢?

[生]是為了應用。

[師]很好。學習的目的是為了用學到的知識解決實際問題。究竟反比例函數能解決一些什麼問題呢?本節課我們就來學一學。

問題：某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構築成一條臨時通道，從而順利完成了任務的情境。

反比例函數的圖像和性質教案 篇6

一、教學設計思路

1．本節課講述內容為北師大版教材九年級下冊第五章《反比例函數》的第二節，也這一章的重點。本節課是在理解反比例函數的意義和概念的基礎上，進一步熟悉其圖象和性質的'過程。

2．對教材的分析

（1）教學目標：進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作反比例函數的圖象；體會函數三種方式的相互轉換，對函數進行認識上的整和；逐步提高從函數圖象中獲取知識的能力，探索並掌握反比例函數的主要性質。

（2）重點：會作反比例函數的圖象；探索並掌握反比例函數的主要性質。

（3）難點：探索並掌握反比例函數的主要性質。

二、教學過程

（一）作圖象，試比較

1、提問：

（1）=4/x是什麼函數？你會作反比例函數的圖象嗎？

（2）作圖的步驟是怎樣的（3）填寫電腦上的表格，開始在坐標紙上描點連線。

2、按照上述方法作=—4/x的圖象3、對照你所作的兩個函數圖象，找一下它們的相同點和不同點。

（二）細觀察，找規律

1、讓學生觀察函數=/x的圖象，按下動畫按鈕，在運動中觀察值的變化與函數圖象變化之間的關系，並與同學充分討論有何規律。

2、演示反比例函數中心對稱的性質以及軸對稱性質，顯示反比例函數的兩條對稱軸。

3、讓學生觀察函數=/x的圖象，觀察過反比例函數上任意一點作x軸和軸的垂線，觀察其圍成矩形的面積變化情況。

（1）拖動，使變化，觀察不斷變化過程中，矩形面積的變化情況，討論得出結論。

（2）拖動函數上的點，觀察矩形面積的變化情況，討論得出結論。

（三）用規律，練一練

1、給出兩個反比例函數的圖象，判斷哪一個是=2/x和=—2/x的圖象。

2、判斷一位同學畫的反比例函數的圖象是否正確。

3、下列函數中，其圖象位於第一、三象限

的有哪幾個？在其圖象所在象限內，的值隨x的增大而增

大的有哪幾個？

（四）想一想，作小結

（五）作業 ：

課本137頁第1題、141頁第2題

反比例函數的圖像和性質教案 篇7

一、教學目標

1.利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力

二、重點、難點

1.重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題

2.難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式

三、例題的意圖分析

教材第57頁的例1，數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關系式，此題實際上是利用了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。

教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。

補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題

四、課堂引入

寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發現前面有一處冰出現了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎?

反比例函數的圖像和性質教案 篇8

教學目標：

1、能利用反比例函數的相關的知識分析和解決一些簡單的實際問題

2、能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式。

3、在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數是刻畫現實世界中數量關系的一種數學模型。

教學重點、難點：

重點：能利用反比例函數的相關的知識分析和解決一些簡單的實際問題

難點：根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式

教學過程：

一、情景創設：

為了預防「非典」，某學校對教室採用葯熏消毒法進行消毒，已知葯物燃燒時，室內每立方米空氣中的含葯量(g)與時間x(in)成正比例。葯物燃燒後，與x成反比例(如圖所示)，現測得葯物8in燃畢，此時室內空氣中每立方米的含葯量為6g，請根據題中所提供的信息，解答下列問題:

(1)葯物燃燒時，關於x的函數關系式為:________，自變數x的取值范圍是:_______，葯物燃燒後關於x的函數關系式為_______。

(2)研究表明，當空氣中每立方米的含葯量低於1.6g時學生方可進教室，那麼從消毒開始，至少需要經過______分鍾後，學生才能回到教室;

(3)研究表明，當空氣中每立方米的含葯量不低於3g且持續時間不低於10in時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那麼此次消毒是否有效?為什麼?

二、新授：

例1、小明將一篇24000字的社會調查報告錄入電腦，列印成文。

（1）如果小明以每分種120字的速度錄入，他需要多少時間才能完成錄入任務？

（2）錄入文字的速度v（字/in）與完成錄入的時間t(in)有怎樣的函數關系？

（3）小明希望能在3h內完成錄入任務，那麼他每分鍾至少應錄入多少個字？

例2某自來水公司計劃新建一個容積為的長方形蓄水池。

（1）蓄水池的底部S與其深度有怎樣的函數關系？

（2）如果蓄水池的深度設計為5，那麼蓄水池的底面積應為多少平方米？

（3）由於綠化以及輔助用地的需要，經過實地測量，蓄水池的長與寬最多隻能設計為100和60，那麼蓄水池的深度至少達到多少才能滿足要求？（保留兩位小數）

三、課堂練習

1、一定質量的氧氣，它的密度(g/3)是它的體積V(3)的反比例函數，當V=103時，=1.43g/3

(1)求與V的函數關系式；

(2)求當V=23時求氧氣的密度

2、某地上年度電價為0.8元/度，年用電量為1億度.本年度計劃將電價調至0.55元至0.75元之間。經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量(億度)與(x－0.4)(元)成反比例，當x=0.65時，等於-0.8。

(1)求與x之間的函數關系式；

(2)若每度電的成本價為0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%?[收益=(實際電價－成本價)×(用電量)]

3、如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P在BC邊上移動(不與點B、C重合)，設PA=x，點D到PA的距離DE，求與x之間的函數關系式及自變數x的取值范圍。

四、 作業

30.3——1、2、3

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❷ 我想做份初中數學課題課教學設計，能幫助嗎

專題講座初中數學中函數課堂教學設計
函數是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型，也是初中數學里代數領域的重要內容，它在初中數學中具有較強的綜合性。在教學中，學生常常覺得函數抽象深奧，高不可攀，老師也覺得函數難講，講了學生也理解不了，理解了也不會解題。事實果真如此難教又難學嗎？本文就初中函數教學中三個常見問題，談談在教學設計方面一些方法和實踐。
一、函數教學中基於數學思想的教學方式的研究
數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想方法。單獨教授知識無益於課本的復讀，利用數學思想進行教學和學習，才能真正實現數學能力的提高。
數學思想方法是對數學的知識內容和所使用方法的本質的認識，它是形成數學意識和數學能力的橋梁，是靈活運用數學知識、數學技能和數學方法解決有關問題的靈魂。 日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學生在初中、高中等所接受的數學知識，因畢業進入社會後幾乎沒有什麼機會應用這種作為知識的數學，所以，通常是出校門後不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什麼業務工作，唯有深深地銘刻於頭腦中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發生作用，使他們受益終身。因此，在函數教學中，我們不僅要在教會函數知識上下功夫，而且還應該追求解決問題的「常規方法」——基本函數知識中所蘊含的思想方法，要從數學思想方法的高度進行函數教學。 在函數的教學中，應突出「類比」的思想和「數形結合」的思想。
1 ．注重「類比教學」
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法， 利用類比的思想進行教學設計實施教學 , 可稱為「類比教學」 .
在函數教學中我們期望的是通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對後續知識的學習產生影響，使學生達到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學生順利地由 「 學會 」 到 「 會學 」 ，真正實現 「 教是為了不教 」 的目的．
有經驗的老師都會發現，初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此採用類比的教學方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。下面我就舉例說明如何採用類比的方法實現函數的教學。
首先是正比例函數，它是一次函數特例，也是初中數學中的一種簡單最基本的函數。但是，我們有些教師卻因為正比例函數過於簡單，而輕視。匆匆給出概念，然後應用。等到講到一次函數、反比例函數、二次函數又感到力不從心，學生接受起來概念模糊，性質混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數的基礎作用，我們應該藉助正比例函數這個最簡單的函數載體，把函數研究經典流程完整呈現，正所謂「麻雀雖小，五臟俱全」。再學習其他函數時，在此基礎上類比學習，循序漸進，螺旋上升。
《正比例函數》教學流程
（一）環節一：概念的建立
通過對問題的處理用函數 y=200x 來反映燕鷗的行程與時間的對應規律引入新課。學生自覺思考教師提問，共同得出每個問題的函數關系式。引導學生觀察以上函數關系式的特點得出正比例函數的描述定義及解析式特點。
（二）環節二 ：函數圖象
這個環節是教學的重點，由學生先動手按「列表——描點——連線」的過程畫函數 y=2x 和 y= － 2x 的圖象，相互交流比較然後教師利用多媒體展示畫函數圖象的過程並通過比較使學生正確掌握畫函數圖象的方法。
（三）環節三：探究函數性質
讓學生觀察函數圖象並引導學生通過比較來歸納正比例函數的性質，這個環節是本課的難點，教師要引導學生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經過的象限及自變數變化時函數值的變化規律。這幾個方面來歸納，最終得出正比例函數的性質。
（四）環節四：概念的歸納
將觀察、探究出的函數圖象的特徵、函數的性質等做出系統的歸納。
（五） 環節五： 概念的應用
這個環節主要加深學生對知識點的理解，突出待定系數法的解題方法。
從這五個環節的設定上，大家不難看出，我們在研究一次函數、反比例函數、二次函數的過程也是經歷這樣的六個環節，所以用類比的教學方式是在降低學生的學習難度，卻能提高學習質量，而且程度比較好的學生可以嘗試自主學習一次函數、反比例函數、二次函數。
歸納：函數探究的內容與方法
研究的對象 ------ 函數的圖象與性質
研究的方法 ------- 畫圖象、分析圖象、探究坐標變化規律、歸納函數性質
關注的問題 ------- 圖象的位置、發展趨勢、與坐標軸的交點、函數的增減性 ……
類比進行反比例函數的教學
例如 17.1.2 反比例函數的圖象和性質教學
具體教學過程如下：
T ：正比例函數 y=6x 的圖象是什麼形狀？
S1 ：通過原點的直線（為將要學習的反比例函數圖象作鋪墊）
T ：那麼反比例函數 的圖象會是什麼形狀呢？我們採用什麼辦法畫呢
S2 ：描點法。
（問題一） T ：我們學習過的一次函數用幾點法描畫？
S3 ：兩點法。
（追問） T ：為什麼呢？
S4 ：根據兩點確定一條直線。
（追問） T ：你確定反比例函數的圖象是直線嗎？
S5 ：不能確定。
（追問） T ：因此我們需要描多少點？
S6 ：盡量多些。正負對稱 10 — 12 個點比較合適
（問題二） T ：描點法畫函數圖象的基本步驟？
S7 ：……
T ：對於 我們如何列表取點？
S8 ：……再次突出描點左右對稱取點的思維過程。
教師示範了 的圖象畫法，再讓同學們嘗試畫出 的圖象
（問題三） T ：你能比較出 和 的圖象有什麼共同特徵？
S9 ：兩只曲線，關於原點對稱（雙曲線）
（追問） T 結合你的圖象和列表 和 之間的不同點？
S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。
（追問） T ：你能猜想 的圖象規律嗎，注意類比正比例函數的圖象規律？
S11 ：當 k>0, 圖象過一三象限，當 K<0 ，圖象過二、四象限。
（追問） T 請再畫一組 的圖象，驗證你的猜想
（問題四） T ：通過以上的猜想和驗證，你能總結出反比例函數圖象的位置規律嗎？
S12 ：歸納 S13 ：糾錯 S14 ：改正
這是本課時的引入部分，教師通過問題串，把反比例函數圖象的定義、圖象規律與正比例函數圖象聯系在一起，教師的設計思路就是採用類比的數學思想，讓學生通過類比的數學思想，自主的學習反比例函數圖象的定義與性質，學得自然，輕松。
T ：能否把反比例函數圖象特徵總結一下？
類比正比例函數圖象的特徵：
反比例函數 正比例函數
圖象
位置
增減性
T ：你有什麼啟發？你發現了什麼？……
顯然是教師採用了類比教學思路的結果，開啟了學生思維的大門，找到了學習新知的有效方法與途徑。
對於類比推理的研究最具影響的是波利亞．波利亞在他的著作《怎樣解題》、《數學與猜想》、《數學的發現》中，通過對數學史上一些著名猜想的剖析，再現了一些重大發現產生的淵源及過程，認為歸納和類比是兩種最基本的猜測方法，並以此為據提出了合情推理的一般模式．認為類比就是某種類型的相似性．通過具體的例子論述了合情推理 ( 歸納、類比 ) 在數學發現和解題方面的作用．他還結合中學數學教學實際呼籲： 「 要教學生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函數要有整體設計的意識，就是上好《正比例函數》，類比學習《一次函數》、《反比例函數》、《一次函數》。
2. 注重「數學結合」的教學
數形結合的思想方法是初中數學中一種重要的思想方法。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學。而數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長。
函數的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現著函數的「數形結合」。函數圖象就是將變化抽象的函數「拍照」下來研究的有效工具，函數教學離不開函數圖象的研究。在藉助圖象研究函數的過程中，我們需要注意以下幾點原則：
（ 1 ）讓學生經歷繪制函數圖象的具體過程。首先，對於函數圖象的意義，只有學生在親身經歷了列表、描點、連線等繪制函數圖象的具體過程，才能知道函數圖象的由來，才能了解圖象上點的橫、縱坐標與自變數值、函數值的對應關系，為學生利用函數圖象數形結合研究函數性質打好基礎。其次，對於具體的一次函數、反比例函數、二次函數的圖象的認識，學生通過親身畫圖，自己發現函數圖象的形狀、變化趨勢，感悟不同函數圖象之間的關系，為發現函數圖象間的規律，探索函數的性質做好准備。
（ 2 ）切莫急於呈現畫函數圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數形狀時，不能取得點太少，否則學生無法發現點分布的規律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強調圖象的簡單畫法，追求方法的「最優化」，縮短了學生知識探索的經歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達到認識上的最佳狀態。
（ 3 ）注意讓學生體會研究具體函數圖象規律的方法。初中階段一般採用兩種方法研究函數圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數法。
下面我就具體函數教學過程中如何體現數形結合思想舉例說明：
《一次函數的圖象》教學設計片斷
①猜想一次函數的圖象會是什麼形狀？
②驗證：在同一平面直角坐標系中畫出下列函數的圖象 .
y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3
③歸納（不完全歸納法）：一次函數的圖象是一條直線，當 k>0 時，直線從左到右呈「起飛」狀，即呈上升趨勢，經過一、三象限；當 k<0 時，直線從左到又呈「降落」狀，即呈下降趨勢，經過二、四象限 .
④思考：不同的一次函數，他們圖象的形狀是相同的，但位置卻各不相同，那麼一次函數的圖象的位置與什麼有關呢？
⑤確定研究方法。通過學生的觀察、思考、交流以及教師的點撥，學生最終得出：一次函數圖象的位置與解析式中的待定參數 k 與 b 的取值有關。教師進一步指出：在研究含有兩個參數的問題時，要先固定一個，進而能明晰地研究出另一個參數在「數」上的變化，導致「形」上的差異。
⑥進一步觀察剛才畫的四個一次函數圖象，思考： k 相同， b 不同的一次函數圖象之間有何關系？ k 不同， b 相同的一次函數圖象之間有何關系？
⑦歸納： k 相同， b 不同的一次函數圖象相互平行，將直線 y=kx 向上或向下平移 ∣ b ∣個單位可得直線 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函數圖象相交於點（ 0 ， b ） .
在這個教學設計中，由於學生明確了函數圖象的研究方法，參與了研究過程，因而對於知識的理解是深刻的、牢固的、靈活的，更重要的是學生體驗到了一種研究函數圖象的一般方法，提高了學生的自主學習能力和思維水平。
二、函數教學過程中幾個難點的處理：
作為初中數學中的難點，函數抽象而富於變化，在一線教學中老師普遍認為有以下幾個問題是教學中的難點，老師不好講，學生不好學。下面我具體舉一些教學設計給各位老師參考看是如何突破我們教學中的難點的：
1 ．反比例函數的增減性問題。
在反比例函數教學時，反比例函數的增減性是個難點。不僅 k 的正負上反比例函數的增減性和正比例函數的增減性相反，而且自變數的取值范圍上有斷點。下面我們看看這個教學設計是如何突破難點的？
《反比例函數的性質》教學設計片斷
（ 1 ）回顧反比例函數圖象特徵
（ 2 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題 :
（問題一） T ：①當圖象上的一個點，沿著第一象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化 ? 這說明在第一象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T ：②當圖象上的一個點，沿著第三象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化？這說明在第三象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T: ③當點 A （ x1,y1）在第一象限圖象上，點 B( x2,y2) 在第三象限的圖象上， x1與 x2的大小關系如何？ y1與 y2呢？此時①②中的結論還成立嗎 ?
（問題二） T ：⑶一般的，反比例函數 ，當 k>0 時，隨著 x 的增大， y 的值怎樣變化呢 ?
（追問） T: ⑷如何用符號語言描述呢？
（追問） T: ⑸你能從解析式出發給出證明嗎？
（問題三） T:(6) 你能從 的圖象中 y 隨 x 的變化是如何增減的嗎？
（問題四） T: （ 7 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題……
在上面的教學設計中，教師藉助幾何畫板課件，幫助學生形象直觀的理解了反比例函數圖象的變化規律，發現變化過程中的特殊點的，自然的歸納出反比例函數增減性的性質及自變數的取值范圍，並且通過結合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數的三種表示方法的整體一致性。
2 ．用函數來求解方程（組）、不等式問題
用函數來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學生會覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。
教材安排用函數的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數學知識間的橫縱聯系，體現函數在初中代數中的統領作用；另一方面從函數的角度，由「數」到「形」的對方程（組）、不等式加深認識，從而站在更高的角度上，提高了學生對舊認識的深度。在教學設計中要注意以下幾點：
（ 1 ）從「數」與「形」兩方面體現函數與方程（組）、不等式的聯系
從「數」來看，就是從函數值看，求方程的解，可轉化為當函數值為零時，求相應自變數的值；求不等式的解集，就是當函數值大於零（或小於零）時，求對應的自變數的取值范圍；求方程組的解，就是當兩個函數的函數值相等時，求對應的自變數和函數值 .
從「形」來看，就是從函數圖象看，求方程的解，可轉化為求函數圖象與 x 軸交點的橫坐標；求不等式的解集，可轉化為求在 x 軸上方（或下方）的圖象對應的自變數取值范圍（或一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方的部分對應的自變數取值范圍）；求方程組的解集，可轉化為求兩個函數圖象交點的橫縱坐標。
（ 2 ）抓住數與形的轉換點理解函數與方程（組）、不等式的聯系
眾所周知，函數圖象就是點的集合，函數圖象上的每一個點的坐標，就是一組自變數與函數值的對應值，因此數與形的轉換點就是圖象上的點及其坐標。教學中抓住這一轉換點，能有效的促進對函數與方程（組）、不等式的關系的理解。
《一次函數與一元一次不等式》教學設計片斷
（一）如何解決下面兩個問題，並思考這兩個問題之間有何關系？
①解不等式： 5x+6>3x+10 ；
②當自變數為 x 何值時，函數 y=2x-4 的值大於 0 ？
歸納：這兩個問題實際上是同一個問題，問題①可以轉化為問題②求解
（二）你能從函數 y=2x-4 的圖象中，發現問題①的解集嗎？
為了促進學生的理解，教師可從以下幾個方面點撥 :
ⅰ函數值與函數圖象上的點的什麼是對應的？函數 y=2x-4 的圖象上，符合函數值大於 0 的點在哪一部分？
ⅱ這部分點的什麼，就是使函數 y=2x-4 的值大於 0 的自變數 x 的取值范圍？
歸納：函數 y=2x-4 圖象在 x 軸上方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，就是問題①得解集
（三）函數 y=2x-4 圖象在 x 軸下方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，是哪個不等式的解集？
（四）你能進一步得到「解不等式 ax+b>0 與「求自變數 x 在什麼范圍內，一次函數函數 y=ax+b 的值大於 0 」 有什麼關系嗎？ 在上面的教學設計中，教師通過引導學生按照「函數值大於 0 →圖象上點的縱坐標大於 0 →位於 x 軸上方的點→橫坐標的取值范圍→自變數的取值范圍」的思維脈絡，緊扣數與形的結合點，不僅讓學生真正理解了函數與不等式的關系，更重要的是使學生真正做到了用數形結合的方法分析問題。
（ 3 ）使學生明確學習函數與方程（組）、不等式的意義。有些學生可能覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。因此，在教學中首先應使學生體會到以下兩點：
①解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數問題，所以函數統率著方程、不等式；
②從函數的角度分析問題的研究方法，對於後續學習有重要作用。
3．自變數的取值范圍
自變數的取值范圍，是解函數問題的難點和考點。正確求出自變數取值范圍，正確理解問題，並化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義。 容易講的枯燥無趣，最後變成公式化記憶，但學生總是此題會，彼題又錯，效果往往不好。我們看這個教學設計，生動活潑而且理解深刻。
八年級 7.2 認識函數（ 2 ）
例 1 等腰三角形 ABC 的周長為 80 ，底邊 BC 長為 y ，腰 AB 長為 x ，
求：（ 1 ） y 關於 x 的函數解析式
學生嘗試做題
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：題目是 y 關於 x ，其中關於相當於等於，所以應該寫成 y=80-2x
T ：把你的學號作為三角形的腰長，請計算相應的底邊 y 值
學生快速的計算
教師在黑板上列出相關的值：
x=0 （教師的學號為 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（問題一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底邊，你看到這組數據有什麼話要說么？
S1 ：不能是負與 0 ，所以最後三個不行。
（追問 1 ） T ：能分享你結論的理由么？
S1 ： y 是底邊，需要大於 0
T ：自變數的取值需要符合函數的實際意義
這時下面有個同學在悄悄的說，第一個也不行。
（追問 2 ） T ：能說說你的理由么？
S2 ：因為 x 是等腰三角形的腰長，也是大於 0 的。
T ：自變數的取值必須滿足自變數的實際意義
這時，課堂中學生都在用質疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時教師讓學生進行討論。經過一段時間的討論，有學生舉手了。
S3 ：第 2 、 3 個也不行
（追問 3 ） T ：為什麼？
S2 ：不能構成三角形
（問題二） T ：那麼 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（問題三） T ：那應該從哪幾個方面求 x 的取值范圍呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解釋一下你是怎麼想到的？
S1 ：三角形任意兩邊之和大於第三邊
T ：我們一起來梳理此題求 x 的取值范圍的方法
教師板書：
求 x 的取值范圍
（ 1 ）自變數 x 的實際意義 x>0
T ：剛才同學們考慮到了函數 y 的取值范圍，而 y=80-2x ，所以還要考慮與 x 相關的量的意義
板書（ 2 ）與 x 相關的量的意義 y>0
（問題四） T ：除了這兩個量還要考慮到什麼呢？
S ：三角形任何兩邊之和大於第三邊
板書（ 3 ）在實際情境中滿足限制的條件
T ：等腰三角形只要考慮 x+x>y

實際問題——解析式——求函數值——沖突——反思——探究——歸納。
在這里，是第一次求自變數的取值范圍，而學生對自變數的取值范圍的求解還沒有形成一種常規的思路，所以，老師通過實際的操作（ 80cm 長的紅絲線），讓學生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂角、面積等之間的變化情況，然後列出底邊與腰長之間的函數解析式，再給定一個自變數（學生學號作為腰長）求出相應的函數值，一方面復習了函數的有關概念——變數、常量、函數，另一方面也讓學生學習了列簡單問題中的函數解析式，根據函數解析式，已知自變數的值，求相應的函數值，更重要的是通過學號作為三角形的腰長，計算相應的底邊 y 值，教師通過遞進式提問，讓學生在具體的、特殊的數值中發現矛盾，產生沖突，引起進一步探索的求知慾，提問、追問、反問，學生的解釋、說理，由特殊到一般，最後總結出求自變數的取值范圍的通性通法，有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢。
4 ． 實際應用問題
學習函數的主要目的之一就是在復雜的實際生活中建立有效的函數模型，利用函數的知識解決問題。這也是新課標所倡導的學習，因此新教材大力倡導函 數與實際的應用。
對於學生來說，實際應用是個難點。在實際應用問題的教學中注意把握以下
幾點：
（ 1 ）切實體現教材設計意圖。教材安排有關應用函數解決實際問題的教學活動，其目的
主要有三 : ①進一步訓練學生的建模能力；②進一步提高學生數形結合分析問題、解決問題的能力；③使學生體會函數是解決生活實際問題的有效模型，進一步提高學生解決實際問題的能力。在教學設計中要體現以上意圖。
（ 2 ）要根據學生實際。對於學生而言，函數已經覺得很難，再用函數解決實際問題，他們會覺得難上加難，因此在教學中要根據學生實際水平，對於難度較大、綜合性較強的
問題要通過有效的設計，分步引導，將復雜問題分解為若干個簡單問題，步步深入，有易到難的尋求答案。
例 4 A 地有肥料 200 噸， B 地有肥料 300 噸，現要把這些肥料全部運往 C 、 D 兩地。如果從 A 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 20 元和 25 元；從 B 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 15 元和 24 元 . 現 C 鄉需要肥料 240 噸， D 鄉需要肥料 260 噸 , 怎樣調運總費用最少？最少費用是多少？
分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學生想到可用函數解決這類問題；難點二是如何從復雜的數量關系中，列出函數解析式；難點三是如何分析出函數的最小值；難點四是將數學的解還原為實際問題的解決方案。為了突破難點，不妨採用如下的教學設計：
① 畫出示意圖，幫助學生理解題意
② 調運費用和哪些量有關？這些量有何關系？

這些量是變數還是常量？
（通過這個問題，啟發學生發現調用費用是一
個變數，並且與四個變數有關，這四個變數相
互聯系，其他變數都可以用另一個變數表示，既然
是和兩個變數有關的問題，符合函數特徵，利用函
數的圖形和性質可以確定最小值）
③ 設總運費為 y ， A 地運往 C 地的肥料量為 x ，填充下表：

y= ________+ ________+ ________+________
④ 怎樣利用函數解析式求最小運費呢？
（教師引導學生發現，求最小運費就是求解析式中函數 y 的最小值，
一方面從解析式中可以發現， y 隨 x 的增大而增大，所以求 y 的最
值需先求 x 的取值范圍；另一方面也可畫出函數圖象，讓學生通過
觀察圖象，發現 y 的最小值）
⑤當調運費用最少時，其他的調運量多少？請你確定出使運費最少的調用方案 .
歸納總結：
ⅰ為什麼本題可用函數的方法解決 ? 用函數解決實際問題的一般步驟是什麼？
ⅱ怎樣列出函數解析式？
ⅲ函數的最值可用哪些方法求出？
ⅳ在實際問題中，求自變數的取值范圍有何作用？
對研究其他函數圖象時，學生的自主分析能力的提高也很有好處。