兩角差的餘弦公式教學設計
臨近期末,學校進行了一次全面的各學科的備課和作業檢查.備課和作業批改是教師日常教學工作的兩項重要內容,也是提高教學效益的關鍵環節.一、語文備課和作業檢查情況，語文作業批改種類多,任務繁重,為此,老師們需不斷探索更具實效性的備課、有效的作業設計和切實的作業批改形式。二、數學備課和作業檢查情況不但注重備教材,還注重備學生.老師需針對不同的學生的實際情況安排練習,對學生反饋問題及時補充說明，為下一階段的教學服務。
三、英語備課和作業檢查情況需教案書寫詳細,認真,能根據課時計劃及時完成教案,教師教學設計中能體現新理念,教案規范,環節清晰,操作性強,
下面,轉載如下文章,供各位同仁思忖、交流：————一位中學教師對布置和批改作業的心路歷程
對原有作業的批改方法的突破緣自一次反思：我們現在批改作業的方式效果及效率如何?既然語文課堂上可以實施課前三分鍾演講,那麼數學課能效仿嗎?我望著桌上如山的作業,心想,現在不知還有多少教師會帶著愉悅心情去面對每天都要批改的作業,尤其是對於已經做了十多年的數學教師,恐怕多少都有些無奈吧?捫心自問,教師為什麼要布置作業給學生?僅僅是出於行為的慣性或教育者的良心去布置作業?教師又為什麼要批改作業?是因為作業在那裡?這樣使自己不得不每天加班加點批改,其效果又有多少?不禁赫然,我到底什麼時候是在認真想過這個問題?是不是人們往往對自己非常熟悉的一件事缺少自省的意識和願望?還是從布置作業的目的入手吧,那麼教師學生布置作業的目的是什麼呢?是反饋學生掌握所學內容的情況,讓教師及時採取相應措施；是讓學生鞏固所學的內容,加深其理解和掌握；還有其他目的嗎?還有能讓學生能夠做到舉一反三,當然最好能夠運用所學內容用數學的視角去理解我們周圍的世界,這就是所謂的培養學生的數學素養吧.可是,原有的做法能夠很好的實現這些願望嗎?很難!教師要能夠及時地批改作業首先就是一件比較困難的事,即使能夠及時批改完作業,發下去的作業本,有多少學生能夠及時關注?即使他們關注了作業中出現的問題,也做了相應地修改,再反饋到教師那裡的時候,已經是幾天以後的事了,如果學生在改錯時又出現了新的錯誤呢?可見這種方式的效率是比較低下的.腦子里突然想起了剛走上講台時,我的業務師傅在教研組集體備課時曾經感慨道：如果誰能在布置作業和批改作業這個環節能夠有所改變並且效果不打折扣,那對數學教師而言,真是一件功德無量的事…….當時我還不以為然,這么多年來所有的數學教師不都是這樣過來的嗎?數學教師每天批改作業,是很辛苦,可這不是天經地義的事嗎?如能有什麼改變,不早改變了?當初,我認為數學教師如要做到每天堅持批改作業,責任心是唯一的支柱.可是此時,我覺得我是應該有所改變了……可我到底該從那兒入手呢?回憶一下自己,改作業時什麼樣的做法最有效?當然是當著學生的面批改作業,因為這種方式反饋最及時和准確,但這種方式不可能做到長期堅持下去,畢竟每個教師每天都要面臨上百個孩子的作業啊.突破口到底在哪兒?這個問題就一直困擾著我好一段時間.直到有一天,上課的預備鈴響了,盡管這節不是我的數學課,但多年做班主任所養成的習慣讓我走到教室旁邊看看學生們上課的情況,這節是語文課,孩子們很專注地望著講台,講台上站著一位學生,正在做課前三分鍾演講,語文課前三分鍾演講一直我校語文教學的一個傳統.講台上的學生聲情並茂地講完後,台下除了給予掌聲予以鼓勵外,還有學生站起來針對演講的內容提出自己的觀點……課堂除了氣氛活躍,也顯得比較有深度.突然,心裡一動,既然語文課上可以實施課前三分鍾演講,那麼數學課上為什麼不可以實施讓學生課前花若干分鍾進行作業講評呢?上面是我七年前對於布置作業和批改的一段真實的心理體驗,至今仍記憶猶新.之所以印象如此深刻,是因為這段經歷改變了我對批改作業進而是布置作業的做法.
「課前五分鍾作業自主講評法」的具體內涵經過這些年的實踐,這種批改作業的方法比較容易操作和實施,也就容易堅持下來,筆者給這種方法命了一個名字,那就是「課前五分鍾作業自主講評法」.即利用課前五分鍾時間,當場隨機選出若干位學生（人數視前一天作業數量而定,一般是有幾題就選幾人）把自己對該題的思考過程、解題思路、注意事項講出來,再由其他同學評議或提供其他做法,教師做補充或評價的作業批改方法.另外,由於受時間的制約,對於其他無法在短暫課堂上交流的學生,讓他們在教室里的留言板上給出他們的做法.隨機,是為了保證學生人人參與,一般是通過我讓學生所做的隨機選號器來完成；五分鍾,是常態下的數學課能夠拿出來的時間,這樣一般不會對後面這節課的教學造成負面影響；講思考過程,是為了暴露學生的思維過程,既讓教師掌握該生掌握所學內容的情況,同時也讓該生本人和其他學生「知其然,也知其所以然」.講解題思路,是在時間比較緊張的情況下,比較節省時間的一種做法,但必須以同伴明白為前提；講注意事項,既是為了讓學生本人能夠對自己所做的工作有一個反思的過程,同時也體現了同伴互助；教師做補充或評價,一般來說,對於常規一點的問題,學生都可能講評得很好,所以教師不必在每個學生講後都要進行補充,至於評價,一般鼓勵性的話語作用不是太大,宜少講,如果能夠把學生所講的升華之、拓展之,可能對學生幫助會更大一些；自主,是指以學生為講評作業的主體.後來在講評環節,筆者還不斷引導和鼓勵學生講出出題者的用意,這對優秀學生而言是一個要求更高的引導,也是有益有的一個嘗試.
幾年過去,收效體現在以下幾個方面：反饋及時,通過課前五分鍾的學生作業講評,上交的作業一般不會出現大的問題,這樣師在檢查時所花的時間將大大下降,並且在檢查時教師的主要精力放在以下三個方面：一是幫助剩下的幾個在作業遇到困難的學生,對這幾個學生的作業實行面批；二是對在作業中有精彩表現的學生予以鼓勵,三是及時掌控了學生思維方式,從中了解學生對知識的掌握情況及學習中的難點,並及時給予點撥,這種做法遠遠比常規作業的批改要有效得多.學生表達和理解能力有所增強,有經驗的數學教師都明白,學生會做題與會講題是兩個不同的層次,通過一段時間的實踐,學生語無倫次的表達少了,有條理,思路清晰的講解多了,甚至不少時候我發覺學生講得比教師還精彩.為學生創設了一個交流平台,給每個學生提供了一個平等「話語權」的機會和展示自我的空間.最重要的是改善了學生的思維品質,特別是對學生的批判性、靈活性等思維品質的培養,起到了比較好的效果,學生不僅對概念的理解加深了,同時在知識的廣度和深度上都得到了不同程度上的提高.每天短短的幾分鍾時間,孩子們淺層次的參與附和少了,有深度的質疑或見解多了：「我在作業完成一半的時候突然明白了老師為什麼要我們證明推論三：過兩條平行直線有且只有一個平面.他是想讓我們在面對一個數學概念時,必須准確把握這個概念的內涵,否則就會走彎路.正如對於平行直線這個概念,我們往往會忽略這兩條直線是在同一個平面內這個前提.當然對數學概念如此,對其他概念我們也要准確把握才行.」「做完這次作業後,我終於明白什麼是性質啦!那就是某類對象它們共同所具有的不變的特徵.」「這次作業讓我對公式有了一個全新的認識,公式揭示了量與量之間的等量關系,如果一開始我就明白這一點,那麼在推證兩角和的餘弦公式時,我的思路就會順暢多了,並且不只有一種方法!」「韋召昭剛才在證明這個不等式時,沒有象我們那樣受思維定勢的束縛,我們都是用剛學到的數學歸納法去證明的,而他卻是直接用放縮法予以證明,過程簡潔多了,我覺得韋召昭同學這種靈活的思維方式讓我很受啟發.」「剛才小樊同學對韋召昭的點評也是我的心裡話,同時我覺得徐老師如果當初在布置作業時,能夠再布置一道不可能用數學歸納法解決的題目,那麼對大家靈活運用知識的能力會更有好處.」每當此時看著孩子們的表現,心裡真的希望自己能夠多做幾年數學教師.同時他們的表現也催生了我對下一個問題的思考.
讓我們在「課前五分鍾作業自主講評法」的基礎上走得再遠一點：讓學生參與作業的布置就在自己開始對上述的工作比較自鳴得意的時候,心裡一個聲音不斷在提醒自己：「別忘記了學生需要的是一位有自知之明的教師,因為當一個教師對自己的工作開始沾沾自喜的時候,也就是你的工作開始出現問題的時候」.（詳見本人另外一篇文章《教育,需要五個學會》）
無庸質疑,上述做法,盡管可以收到種種好的效果,但是布置作業這個環節上,仍是單純由教師布置作業讓學生完成,這樣既讓學生在作業的內容上無法選擇,只能被動接受任務,同時教師也無法及時了解學生在學了相關內容後他們到底在關注什麼.同時,孩子們在課堂上的話語也促使我對作業布置這個環節做了一定的改進,即讓學生參與布置作業,這一措施對優秀學生的培養有很好的幫助,目前這一做法還有待於完善.【片段一】 2003年,在學完了圓錐曲線之後,我讓學生布置一道與之有關的作業,結果讓我大吃一驚：「把一根火腿腸斜截成兩段,你認為截面是什麼圖形?請論證你的結論.」這分明是一個研究性學習的問題嘛!學生們在解決這個問題的過程中,還發現了橢圓與圓的關系,由此寫出了一篇數學小論文《橢圓與圓》,這篇數學小論文在由《數學通訊》組織的全國中學生數學小論文競賽取得了比較好的成績.這段經歷,既堅定了我把研究性學習滲透到學科教學中去的信心.同時也堅定了我把作業分為常規作業（需每天上交）、數學周記和數學小論文等幾種形式的做法.（詳見本人的另一篇文章《我的研究性學習》）【片段二】2005年底,筆者在桂林參加了一個多月的培訓,這期間做了一個大膽的嘗試,即在這一個多月的時間不找人來代課,而是先制定好這一個月的學習計劃並告訴我的學生,同時在每個班指定幾位同學來負責該學習計劃的完成,每周讓專人通過簡訊或郵件向我匯報.由於已經實施了一段時間的學生參與布置作業和「課前五分鍾學生自主作業講評法」,學生們對於要自己在沒有教師進課的情境下自主學習並沒有感到什麼不可思議,一個多月下來,沒有出什麼亂子,盡管這一個多月我過得有些提心吊膽,心裡仍十分感激我這一百多位孩子的家長們的信任,同時也十分感激我所在學校廣西南寧二中校長葉彌堅先生的理解和支持.
國內相關研究狀況當今中學里,在布置和批改作業這一不可或缺的數學教學環節,國內似乎還沒有太多的讓人耳目一新的成果,給筆者印象深刻的有：華東師大學者熊川武先生提出的「零作業批改」（《論中學教師「零作業批改」》中國教育學刊2007年第5期P52---P54）.所謂「零作業批改」,即教師把作業批閱權歸還給學生,把自己用於批閱作業的時間轉移到研究學生作業中出現的問題並加強個別指導上.實施「零作業批改」的基本環節是：對學生進行簡短培訓——在課堂上互批作業——學生各自標記「作業問題」——教師抽查作業並做問題記錄——師生對學習問題實行雙重跟蹤.熊川武先生的研究結論是：實施「零作業批改」,有利於學生學會學習；可促進教師「質性」敬業；能豐富中學教育的人文和科學價值.具體地說可達到以下四個方面的效果：(一)工作負擔減輕,教學質量提高；(二)師生關系改善,學生尊師好學；(三)教師和學生焦慮度得以緩解；(四)學差生普遍進步,優生更優.根據筆者的教學經歷,我個人認為,要能夠真正實施「零作業批改」,對教師課堂管理的能力要求非常高,尤其對時間的控制不太好把握.同時也還沒有脫離「教師布置,由學生完成」這種模式.北大附中張思明先生在「課題學習」中所使用的「長周期作業」形式.張思明先生在組織學生進行「研究性學習」方面做了卓有成效的工作,從他布置給學生完成的作業題目便可「窺一斑而可見全豹」：「測量問題（建模與小組活動）」；「電視塔問題（建模與探究）」；「糧食堆求重量的問題（建模、探究、實驗）」；「年歷表引發的問題（探究）」；「正切函數的圖象和性質（探究）」；「計算器中的發現（實驗與發現）」；「折紙的發現（實驗與探究）」；「菲數列的聯想（自主閱讀與探究）」；「我們的東教學樓有多高?」……這些作業,他首先讓學生填寫「課題研究報告」,然後再利用課上時間組織學生交流.筆者十分欽佩張先生能夠拿出自己大量的數學課來完成這些工作的勇氣和底氣,這可不是一般人都能做得到的事情.
結語：在我對讓學生參與作業的布置和實施「課前五分鍾作業自主講評法」津津樂道的時候,一個聲音在反問我：存在布置和批改作業的最佳方法嗎?在文章即將要結束的時候,可能讀者會不由自主地替筆者產生了一個新的憂慮：在我一再強調布置和批改作業的方式的時候,是否會沖淡讓學生完成作業的實質?畢竟就作業而言,內容要遠比操作的方式重要啊!可喜的是,我發現,在一個充滿質疑、開放、合作的氛圍中,我所實施的布置作業和批改方式與學生所完成作業的內容是相輔相成的,當然,前提是需要教師對所教材料有深刻的理解和恰當的處理.（詳見本人另一篇文章《數學課可以走多遠——教材的簡約性與學生思維批判性的培養》已收錄在《數學通報》2009年第7期）盡管我的做法已經實施了若干年,但我仍然無法回答這樣一個問題：這種方式是不是對我下一屆的學生繼續有效?在我對讓學生參與作業的布置和實施「課前五分鍾作業自主講評法」津津樂道的時候,一個聲音在反問我：存在布置和批改作業的最佳方法嗎?我想,僅憑這一個問題就足以讓我從激動中冷靜下來.帕克·帕爾默（Parker J.Palmer）的《教學勇氣》一書封底的一句話深深打動著我：優秀教學不能降格為技術,優秀教學源自於教師自我認同和自我完善.說句心裡話,如果可能,我最願意做的還是盡可能多一點抽時間出來當著學生的面批改作業,因為這是我最嚮往的與學生進行交流的形式,也是一種讓我覺得自然而有效的方式.我思故我在.