数学曾宪武

① 张芷芬的学术贡献

关于李纳方程极限环的个数
1.关于李纳方程极限环的唯一性
关于极限环的唯一性问题要比存在性问题难些，直到20世纪四五十年代才有N.莱文森（Levinson），G.桑索内（Sansone），R.孔蒂（Conti），J.I.马赛拉（Massera）等人的惟一性定理，而他们得到的充分条件都加在函数g（x），f（x），或F（x）的对称性或它们零点的对称性上。1957年张芷芬在副博士论文中第一次指出，阻尼函数的凹凸性是影响极限环唯一性的更本质的性质，实际上f（x）的星形性就能保证唯一性。她在1958年和1986年发表的文章中，对广义李纳系统在常规条件下，证明了若导函数，（0，+
∞）），则（4）的极限环唯一。这一结果一直被国内外同行广泛地引用。如见秦元勋的“微分方程所定义的积分曲线”（下册）（1959），叶彦谦的“极限环论”（1984），桑索内和孔蒂的书“非线性微分方程”（“Non-linear Differential Equations”）（1964），L.佩柯（Perko）的书“微分方程和动力系统”（“Differential Equations and Dynamical Systems”）（1993）。在二次多项式系统和生物数学等领域中的极限环唯一性问题，很多都是利用这个唯一性定理证明的。 1982年张芷芬的学生和同事曾宪武对系统（1）的唯一性定理作了本质性推进，在阻尼函数没有对称性和凸凹性的限制下，他对发散量积分用分段估算、相互补偿的办法作了更精细的估计。接着张芷芬和曾宪武、高素志又将此结果从系统（1）推广到系统（4）。他们总结了二三十年来的相关结果，经深入研究，发表了论文：“On the uniqueness of the limit cycle of the generalized Lienard equation”，它不是一篇简单的综合文章，文中最前面的11条引理揭示了方程（4）的发散量积分的最本质特性，每个定理后面的推论都指出了定理的要点和如何应用，已有的很多唯一性都是本文推论的特例。
2.关于一类周期阻尼李纳方程极限环的惟n性
1980年张芷芬第一个证明方程
对一切μ≠0，在相空间（x，）的带域||≤（n+1）π上恰好有n个极限环这个有多年历史的猜想（n=0，1，2，…）。此结果引起国内外同行们的关注。不但因为它是多年来未解决的猜想，还因为它与希尔伯特第16问题相关。已知解析系统在有界区域内极限环个数有限。方程（5）是解析系统，它却有无穷多极限环在无穷远密集，它用实例揭示解析性只能保证极限环个数的局部有限性，却不能保证全局有限性，只有多项式系统的极限环个数才在全平面有限。
关于拓扑动力系统
1.非齐性极小集合
完备度量空间上定义的几乎周期极小集合是紧致的拓扑群，群的运算能一致地扩充到闭包，因而是齐性的，即每一点的维数相同。E.E.弗洛伊德（Floyd）在R2的正方形的闭子集上所定义的离散动力系统，它是非齐性的，它有0维和1维点。张芷芬在一个n维正方形的闭子集上定义的离散动力系统，它有0，1，…，n-1维点。仿此，可定义一n维紧致非齐性极小集合，它有且仅有0，k1，k2，…，kj维点，其中0≤k1≤k2≤…≤kj≤n-1。由此可见几乎周期极小集和极小集的差异。G.D.伯克霍夫（Birkhoff）猜想，在n维流形上定义的极小集合都是齐性的。A.马尔可夫（Markov）证明此猜想对有限维连续流极小集合是对的。
2.安东尼（Antonie）项链
20世纪50年代W.H.戈特沙尔克（Gottschalk）提出，能否定义一个以安东尼项链A为极小集合的拓扑动力系统。1982 年张芷芬在“中国科学”上发表的文章中定义了R3到自身的拓扑映射Φ，使得A是（R3，Φ）的一个完全不连通的紧致完全的不变集（它与康托（Cantor）集等价），而R3/A不简单连通（项链之名由此而来），A恰发是离散动力系统（R3，Φ）的极小集，从而第一次肯定地回答了戈特沙尔克的问题。进而，A还是（R3，Φ）的几乎周期极小集，故它是齐性的，每一点的维数为0，于是，A不但是紧致拓扑群，还是单纯拓扑群，即它有一稠密的循环子群。A的动力学异常简单，但A的几何却并不简单，A显然不是有限个流形的并。
关于向量场分岔理论
张芷芬从20世纪80年代起开始关心向量场的分岔理论，主要是哈密顿向量场的分岔问题，即系统（2）的极限环个数问题，也称弱希尔伯特第16问题。
设H=h0和H=h1分别对应哈密顿向量场dH=0的奇点和奇闭轨。设闭轨Гh是H-1（h）（h0<h<h1）的紧分支。设Гh对扰动系统（2）的庞加莱映射为Pε（h），则位移函数
△Pε=△Pε（h）-h=εM1+o(ε)
是阿贝尔（Abel）积分，也称一阶梅利尼柯夫（Melnikov）函数。
扰动系统（2）有闭轨的充要条件是位移函数△Pε=0，M1（h）是位移函数对ε而言的一阶近似，故它在（h0，h1）上的孤立零点个数（计重次）N（m，n）与系统（2）的极限环个数紧密相关，其中degH=m+1，max（degP，degQ）=n。
1.对m=n=2，给出N（m，n）的准确估值
当m=2，dH=0共有5种通有情形和8种非通有情形。已证得N（2，2）=2或3。其中8种非通有情形由I.D.伊利耶夫（Iliev）、李承治和赵育林等解决。5种通有情形之一由张芷芬和李承治解决。最近李承治和他的学生陈风德等在实域中给5种通有情形一种统一的证明。
2.关于庞特里亚金定理的推广
1934年庞特里亚金证明，当系统（2）的右侧充分光滑，且M1（h*）=0.M（h*）≠0，则系统（2）有唯一极限环Lh。它连续依赖于ε，Lh→Гh*，当ε→0；且Lh稳定（不稳定），当εM1（h*）<（>）0。张芷芬在副博士论文中，在同样假设下证明，当（h*）=0（k=0，1，2，…，n-1），而（h*）≠0，则存在充分小ε0>0，δ0>0。系统（2）至多有n个极限环在δ（Гh*）=U Гh中，当|ε|ε0。此结果被《苏联数学四十年》所引用。
3.多角环的环性
多角环分两大类：无穷余维和有限k余维。
对第一类环，张芷芬和她的学生李宝毅在一定非退化条件下证得S（2）的环性为2等。对余维k的环，已知它的环性E（k）≤k，当k=1，2；E（k）>k，当k≥4。张的博士生赵丽琴，在论文中圆满地回答了此问题，她证得E（k）≤k，当且仅当k=1，2，3。
4.闭曲面上的“兰天灾变”，一类全局分岔
J.帕里斯（Palis）等学者于1975年在Lecture Notes Math.468卷的一篇文章中提出了动力系统中未解决的五十个问题，其中第三十七问题是：在单参数通有向量场族中能否发生“兰天灾变”，即在C∞紧致流形M上，定义连续向量场族Xμ（μ∈R），若存在连续映射L：（μ0-ε，μ0）→[Xμ的闭轨L（μ）]，当μ→μ0，L（μ）的周期T（μ）→∞，但L（μ）不趋于Xμ的任何奇点，这时叫“兰天灾变”，即闭轨L（μ）由于周期T（μ）趋于无穷而突然消失，但这不是由于它靠近奇点引起的。李伟固和张芷芬在闭曲面上较彻底地解决了此问题。他们证明，除了S2和P2外，“兰天灾变”可在任何闭曲面上发生，但对单参数通有族，它只能在克莱因（Klein）瓶K2上发生，且就是通过一种特定途径发生。
5.可积非哈密尔顿系统
关于弱希尔伯特第十六问题，目前遗留下来的问题很多也很难，其中值得一提的是可积非哈密尔顿系统。由于积分因子一般而言很不规正。阿贝尔积分号下乘上这样的因子便寸步难行，已有的工作屈指可数。但若可积系统具有理中心，即围绕中心的是有理代数闭曲线，则由达布定量，系统的积分因子是有理函数。对于中心附近围绕的是低次代数闭曲线的情形，张芷芬和她的同事们证明了对一切系统，当中心附近围绕二次代数曲线时，则N（n）=O（n）。对一切二次多项式系统，当中心附近是三次代数曲线，或四次代数曲线时，也有N（n）=O（n）。这些工作可算是对这艰难问题迈出了一步。
在以上3个科研方向上，张芷芬和学生以及同事在国内外杂志上合作发表了50余篇论文。“李纳方程极限环个数问题和拓扑动力系统的几个例子”获国家教委1988年科技进步二等奖。
教学和研究生培养
自1957年以来，在教书育人的工作中，张芷芬的主要精力放在高年级大学生和研究生的培养上。她认识到，要为国家培养高质量的人才，使他们在今后的岗位上继续奋进，逐步站在学科发展的前沿，是非常艰巨的任务。
自20世纪60年代起，张芷芬先后几次为高年级大学生和研究生开设过微分方程定性理论专门化课，后来以此讲义为基础，她与丁同仁、黄文灶、董镇喜合作写成教材，于1985年由科学出版社作为现代数学基础丛书出版，1997年重印，1992年由美国数学会出版社译成英文作为数学专著译丛第101卷出版发行。
与此同时，张芷芬和丁同仁、黄文灶等合作为高年级学生和青年教师开设拓扑动力系统讨论班，基本教材是张芷芬的导师涅梅茨基和V.V.斯捷潘诺夫（Stepanov）的《定性理论》一书的有关章节和他的两篇综合文章，培养了两届六年制大学生，共完成毕业论文十余篇，有的达到了硕士论文水平。这些论文加上教师完成的论文，共回答了涅梅茨基综合文章中所列举的未解决问题的一半。
自1981年起的十余年间，张芷芬与李承治、李伟固等从未间断地组织了有关向量场分岔理论和动力系统方面的讨论班，系统地阅读一些基本文献和重要的新结果。
讨论班的学术活动大大地拓宽了师生们的眼界。关于研究生培养，除了学生来源等问题外，张芷芬认识到对于教师来说，首要的是选题，要尽可能地根据学生实际情况，又要让论文方向更接近前沿，使他们毕业后值得继续探索。其次是要给他们从阅读文献，提出问题到解决问题的全过程的培养。每篇论文都应有攻坚之处，要让学生自己去攻克，使他们经过这番磨练，提高能力，增强信心，毕业后仍有胆识去独立地开展研究工作。她领导的讨论班也在研究生培养中起着重要作用。这一期间，张芷芬共培养硕士生8名，博士生11名。今天他们大都成为有关院所的专家、教授，其中有李承治、郑志明、李伟固、张伟年、李翠萍、肖冬梅、曹永罗、齐东文、王兰宇、赵丽琴、赵育林、李宝毅、汪天喜等。