高等数学函数与极限
函数在某一点连续必定在该点有极限(且这个极限就是该点的函数值)但反过来不一定，因为f(x)在某一点有极限时，在该点并不一点有定义，所以不一定连续。
函数在某一点连续也必定意味着函数在该点附近的任意一个有定义的去心邻域内有界，反过来不一定，即有界不一定连续。
函数在某个区间内连续则必定在该区间上可积，但反过来不一定，例如著名的黎曼函数，在[0，1]上的所有有理点(除了0)都不连续，但它确是可积的。
几何含义
函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。
⑵ 高等数学函数极限的性质
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹逼定理：（1）当(这是的去心邻域，有个符号打不出）时，有成立
（2）,那么，f(x)极限存在，且等于A
不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
3.柯西收敛准则
数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n>N时，且m≠n，有。我们把满足该条件的{Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{Xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
方法
①利用函数连续性：
（就是直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）
②恒等变形
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）
当然还会有其他的变形方式，需要通过练习来熟练。
③通过已知极限
特别是两个重要极限需要牢记。
④采用洛必达法则求极限
洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
洛必达法则：符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。
⑶ 高等数学函数极限定义
这里其实包含了趋近于这个概念。考虑两类函数，
第一类在x0附近函数有波动，那么版当ε接近于0的时候，δ也权会随之接近于0，此时满足条件|x-x0|<δ的x也会接近于x0
第二类在x0附近函数没有波动（例如常函数），虽然当ε接近于0的时候，δ不会随之接近于0，但是既然对于满足条件|x-x0|<δ的x都有函数值接近于A，那么显然当x趋近于x0时函数值也趋近于A
⑷ 高等数学 函数极限的定义
函数极限中来的δ重在存在性，并自且δ是随着ε变化的，而ε是任意小的一个正数，所以δ本身就具有常量与变量的双重性。变量性是指它随任意小的正数ε发生变化，常量性是ε一旦给定了一个值，那么相应的一定会存在我们所需要的一个δ（当然δ是有无穷多个，因为一旦找到了一个，所有比它小的正数也完全符合要求）
所以
1、“函数的极限中，左极限右极限的定义域的δ必须相等吗”，答案是：没有必要一定相等，“存在”即可，管它具体等于多少呢
2、不需要考核δ>6的情况，因为δ已经找到
⑸ 高数中关于函数极限的法则
极限是高等数学的基础，要学清楚。
设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε>0，存在正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式. │f(x)-A│<ε , 则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞时极限为y=0 函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 极限符号可记为lim。
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→Xo 的极限为例，f(x) 在点Xo 以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε ，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。 问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。详见附例1。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若极限 存在，则在该点的极限是唯一的）
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 1.夹逼定理：（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A 不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。 2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。 在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。 3.柯西准则 数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。
⑹ 高数函数的极限是什么
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。
⑺ 高等数学函数极限
（5）当x>1时，右极限=(x-1)/(x-1)=1
当x<1时，左极限=(1-x)/(x-1)=-1
因为左右极限不相等，所以原极限不存在
2、当x>0时，右极限=arctan(+∞)=π/2
当x<0时，左极限=arctan(-∞)=-π/2
因为左右极限不相等，所以原极限不存在
⑻ 高等数学函数求极限
分析：基本题，你的概念太差了，一点书都没看，只是记了一下公式。以下详细解答你的疑惑
答：
1、求极限首要想到用洛必达法则，但是洛必达法则的条件是：必须是∞/∞或者0/0型，而所求极限的形式为：0^无穷大型，显然不能直接求；
2、对于指数式，有一个很简单的变换是：x=e^(lnx)（初中内容，从这里也可以看出，你数学一直不好，基本上从来不看书不理解，只是记公式！）因此：
y=[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)可以变成：
y=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
=e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}=e^{ln[e^(lnx/x) - 1]/lnx}
原极限
=lim(x→+∞)[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)
=lim(x→+∞)e^ln{[x^(1/x) - 1]^(1/lnx)}
=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
2、
分子→(洛必达) [e^(lnx/x)]·(lnx/x)'/[e^(lnx/x) - 1]
=[e^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]/[e^(lnx/x) - 1]
分母→(洛必达) 1/x
原分式=分子/分母
=[xe^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]'/[e^(lnx/x) - 1]
上式中：根据等价无穷小 e^x -1 ～x，因此：e^(lnx/x) - 1 ～lnx/x
而lim(x→+∞)lnx/x =lim(x→+∞) (1/x)/1 =lim(x→+∞) 1/x =0
因此：
lim(x→+∞)e^(lnx/x)=e^0 = 1
原分式
=lim(x→+∞) x·[(1-lnx)/x²]'/(lnx/x)
=lim(x→+∞)(1-lnx) / (lnx)
=lim(x→+∞) (1/lnx) - 1
=-1
原式= e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x) - 1]/lnx}
=e^(-1)
=1/e
⑼ 高等数学函数极限计算
x--->0+时sinx等价于x,bcosx-1--->b-1,e^x+a--->1+a,
所以x(b-1)/(1+a)--->1/3,
1+a--->0,a=-1,
e^x-1等价于x,
所以b-1=1/3,b=4/3.