高一数学重难点

❶ 高一数学知识点总结

一
集合与简易逻辑
集合具有四个性质
广泛性
集合的元素什么都可以
确定性
集合中的元素必须是确定的，比如说是好学生就不具有这种性质，因为它的概念是模糊不清的
互异性
集合中的元素必须是互不相等的，一个元素不能重复出现
无序性
集合中的元素与顺序无关
二
函数
这是个重点，但是说起来也不好说，要作专题训练，比如说二次函数，指数对数函数等等做这一类型题的时候，要掌握几个函数思想如
构造函数
函数与方程结合
对称思想，换元等等
三
数列
这也是个比较重要的题型，做体的时候要有整体思想，整体代换，等比等差要分开来，也要注意联系，这样才能做好，注意观察数列的形式判断是什么数列，还要掌握求数列通向公式的几种方法，和求和公式，求和方法，比如裂项相消，错位相减，公式法，分组求和法等等
四
三角函数
三角函数不是考试题型，只是个应用的知识点，所以只要记熟特殊角的三角函数值和一些重要的定理就行
五
平面向量
这是个比较抽象的把几何与代数结合起来的重难点，结体的时候要有技巧，主要就是把基本知识掌握到位，注意拓展，另外要多做题，见的题型多，结体的时候就有思路，能够把问题简单化，有利于提高做题效率
常用导数公式
1.y=c(c为常数)
y'=0
2.y=x^n
y'=nx^(n-1)
3.y=a^x
y'=a^xlna
y=e^x
y'=e^x
4.y=logax
y'=logae/x
y=lnx
y'=1/x
5.y=sinx
y'=cosx
6.y=cosx
y'=-sinx
7.y=tanx
y'=1/cos^2x
8.y=cotx
y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y'=1/1+x^2
12.y=arccotx
y'=-1/1+x^2

❷ 高一数学的重点和难点是什么

高中数学学习方法谈 进入高中以后，往往有不少同学不能适应数学学习，进而影响到学习的积极性，甚至成绩一落千丈。出现这样的情况，原因很多。但主要是由于学生不了解高中数学教学内容特点与自身学习方法有问题等因素所造成的。在此结合高中数学教学内容的特点，谈一下高中数学学习方法，供同学参考。 一、 高中数学与初中数学特点的变化 1、数学语言在抽象程度上突变 初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言等。 2、思维方法向理性层次跃迁 高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。 3、知识内容的整体数量剧增 高中数学与初中数学又一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许多，辅助练习、消化的课时相应地减少了。 4、知识的独立性大 初中知识的系统性是较严谨的，给我们学习带来了很大的方便。因为它便于记忆，又适合于知识的提取和使用。但高中的数学却不同了，它是由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合，命题、不等式、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、三角比、三角函数、数列等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须花力气的着力点。 二、如何学好高中数学 1、养成良好的学习数学习惯。 建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法 学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。 解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。 3、逐步形成 “以我为主”的学习模式 数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。 4、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施 2 记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中 拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 2 建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再 犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 2 熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化 或半自动化的熟练程度。 2 经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化， 使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。 2 阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课 外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。 2 及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩 固，消灭前学后忘。 2 学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解 题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 2 经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学 思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 2 无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而 不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 对新初三学生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。 其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习等多样化的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题—实验探究—开展讨论—形成新知—应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。 在新学期要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。 概念课 要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。 习题课 要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”，以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。 复习课 在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、技能有没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题(包括基本图形、图像等)，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到中考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。 最后，要有意识地培养好自己个人的心理素质，全面系统地进行心理训练，要有决心、信心、恒心，更要有一颗平常心。

❸ 高一数学重点题型及解析是什么

必修一重点、难点问题分析：集合的基本概念和运算，例：设U为全集,集合A={0，2，3，4}，B={-1，0，2}写出A∩B 和A∪B，的所有子集。

题型：具体函数的定义域几类函数的定义域

（1）如果f(x)是整式，函数的定义域是实数集R。 

（2）如果f(x)是分式，函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合。

（3）如果f(x)是二次根式，函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。

(3)高一数学重难点扩展阅读：

整体把握是很重要的，高中数学的重要性不是谁能想象的，刚进入高一，有些学生还不是很适应，如果直接学习高考技巧仿佛是“没学好走就想跑”。任何的技巧都是建立在牢牢的基础知识之上，因此建议高一的学生多抓基础，多看课本。

在应试教育中，只有多记公式定理，掌握解题技巧，熟悉各种题型，才能在考试中取得最好的成绩。在高考中只会做题是不行的，一定要在会的基础上加个“熟练”才行，小题一般要控制在每个两分钟左右。

❹ 高中数学必修一重难点是哪几块

高中数学重点有什么?该怎样攻克?

高中数学重点内容还有很多.这些重点都是保持多年来的经验,他们分析过高考数学的题型,高中数学重点分为以下几个部分.

向量讲解

其实高中数学重点就是在必修的里面.必修是每个高中生都必须学习的,不管是分不分文理科,他们都是会学习的.很多重点都是在必修里面,然而在选秀当中就是讲一些统计之类的问题,这都是我们在生活当中就会学到的,所以这些都不是重点,重中之重就是在必修的课本当中.

❺ 高一数学的重点是什么

高一是必修一、二、四、五
必修一：A，集合与函数（弄清楚集合的概念、关系，类型，表示方法等；函数部分要掌握概念、单调性、奇偶性、最值等，还有映射的概念）
B，基本初等函数（指数函数，对数函数，反函数，幂函数的概念和相关运算）
C，函数的应用（函数与方程结合，求零点是一个重点！什么二分法之类的，书上不够详细，多是老师上课补充的）

必修二：A，空间几何体（认识并了解空间几何体的结构，掌握三视图直视图的做法，牢记运算表面积与体积的公式）
B，点，直线，平面的位置关系（熟记点、直线、平面之间的判定定理，线线平行/垂直，线面平行/垂直，面面平行/垂直，二面角的找法等等）
C，直线与方程（直线的倾斜角与斜率，直线的方程：两点式，斜截式，截距式，一般式，点斜式...直线的交点与距离公式，都要牢记！！）
D，圆与方程（圆的方程形式，直线与圆的位置关系：相离相切相交，圆与圆的位置关系：相交，外切，内切，外离，内含；圆心距的关系也是重点，空间直角坐标系，很重要！）

必修四：A，三角函数（角度制与弧度制；三角函数及其图象、性质、诱导公式等等，正弦余弦正切...非常非常重要，高考必考，其中有一些转化挺晕的，但是理解透了很简单！）
B，平面向量（熟练其线性运算，基本定理及坐标表示，向量的模长、数量积等等，这为高二的空间向量、空间直角坐标、点线面位置关系的证明打基础）
C，三角恒等变换（都是记公式的了，不过不要死背，两角和 两角差 降幂 升幂 万能公式、二倍角等等……还有与实际相结合的题）

必修五：A，解三角形（正弦定理，余弦定理的运用，三角形中边角关系转化）
B，数列，超级超级重要，往往是高考最后一题的难点，否则就是几何了（等差数列和等比数列的公式、特殊定理、数列的前N项和，除此之外会有复合数列等，通常用到公式法，累加法，累乘法，裂项相减法、倒序相加法、构造法……）
C，不等式（基本不等式非常重要，在高二的数列证明和数学归纳法题中常常用到，此外线性规划是选择题中常见题型啊~与直线图像相结合，一般分几类：找截距，到原点或某点的距离，到原点或某点的斜率……）

完完全全是自己根据书本的目录写的~~进入高三了，顺便复习一下高一，希望对你有帮助啊~~

❻ 高一数学指数函数重点难点 越详细加分越多~

高一数学，首先要明确函数的定义。因为函数在整个高中都是难点，而且在高考里的地位也是举足轻重的。整个高一的时间差不多都在学习函数。学习函数首先要明白函数的三要素：定义域，值域，对应法则。还有函数是可以多个自变量对应一个因变量，而反过来再则不行。另外，函数的学习中，还要明白函数的图像怎么画，因为图解法解决问题在实际应用中也是很重要的。这就要熟悉每个函数的性质，包括：增减性，单调性，值域，定义域，对应法则，奇偶性。有了这些，基本就可以画出函数的图像了。

❼ 高一数学重点知识总结

高一的数学内容并不多，但是难度不低。难度并不在于知识点的深度和综合能力，而在于从初中相对具体形象的数学学习一下进入高中抽象的，与生活似乎关系不大的学习，很多同学表现出非常大不适应。因此，如果觉得高一数学“难”，复习的重点，应当放在分析为什么自己觉得学习过的知识点“难”上。

难点一：抽象函数

F规则的含义虽然看起来简单，但如果理解不深刻，对于后面的解题有很大的影响。解决抽象函数难点的思路主要有这样两条：

（1） 将抽象函数的内容与具体函数的性质结合起来。抽象函数作为理解函数的一个上位的要求，对于所有的具体函数都具有指导意义。高一学习的指数，对数和幂三种函数的具体性质，都是抽象函数性质在具体函数中的表现。函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，这些内容既是抽象函数的核心内容，又是具体函数具体性质的表现。结合起来记忆，效果更好。

（2） 所有和抽象函数相关的综合问题，一定首先想办法将抽象函数的条件化为具体条件，转化的方法，就是利用抽象函数的性质。很多综合题中都会出现抽象函数的条件，对于这种题目，首先要解决的就是将这些条件中的f去掉。比如f(a)<f(b)，保留f，无论a与b如何简单，不利用单调性条件去掉f，问题都解决不了。

难点二：三角函数

这一部分的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。在教学中，我注意到有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品（初中三角函数很多时候依附于相似三角形），而是一个具有独立意义的函数表现形式。

既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效——就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。

三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的“统一论”，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。关键是，一定要多做题。

难点三：向量部分

这部分其实是这学期最简单的部分。简单的原因是，以前从来没有学过，初次接触，考试不会太难。这部分的复习也最为轻松——围绕向量的几何表示，代数表示和坐标表示理解向量的各种运算法则。

难点四：综合题型

压轴题基本上，都是以函数一章作为最核心的知识载体，中间掺杂向量和三角的运算。解决这样的题目，方法几乎是固定的，那就是首先利用抽象函数性质，将带有f的条件化为不带有f的条件，然后利用三角与向量的运算化简或证明。非压轴题出题方法可能更自由，但是综合性往往没有太强，仍然属于各个板块内的综合

❽ 高一数学的重点内容有哪些

一是集合，弄懂概念就明白了
二
函数
这是个重点，但是说起来也不好说，要内作专题训练，比如说二次函数容，指数对数函数等等做这一类型题的时候，要掌握几个函数思想如
构造函数
函数与方程结合
对称思想，换元等等
三
数列
这也是个比较重要的题型，做体的时候要有整体思想，整体代换，等比等差要分开来，也要注意联系，这样才能做好，注意观察数列的形式判断是什么数列，还要掌握求数列通向公式的几种方法，和求和公式，求和方法，比如裂项相消，错位相减，公式法，分组求和法等等
四
三角函数
三角函数不是考试题型，只是个应用的知识点，所以只要记熟特殊角的三角函数值和一些重要的定理就行
五
平面向量
这是个比较抽象的把几何与代数结合起来的重难点，结体的时候要有技巧，主要就是把基本知识掌握到位，注意拓展，另外要多做题，见的题型多，结体的时候就有思路，能够把问题简单化，有利于提高做题效率两角和公式
希望能帮助您~

❾ 高一数学该怎么学

第一，提前预习。

在难度上，高中数学比初中数学要难一些；在课堂容量上，高中数学比初中数学要大一些；在讲课进度上，高中数学比初中数学要紧一些。

基于高中数学的这些不同于初中数学的特点，决定了刚初中毕业的高一新生接受新课的效果往往不如人意。

第二，课后复习。

俗话说得好，“好记性不如烂笔头”。这就是说很多知识不记下来复习是容易遗忘的。重点、难点知识的理解和掌握自然也离不开课后复习。

为了在每天大容量的新知识学习中巩固好所学的重难点知识，高一新生一定要在课下抽出一定的时间来对当天甚至近几天所学的重难点知识进行有效的复习和巩固。课后复习的具体方式主要包括：复习课本、复习笔记、复习自己积累的典型例题的解题方法和解题技巧。

第三，查漏补缺。

初中数学的重点和高中数学的重点有些时候是不一样的，这就导致高一新生在初中学的没掌握好的非重点知识到了高中数学课程里却成了重点。而且高中数学的学习不可避免地要经常用到这些初中数学的非重点知识。

这个时候，对自己数学知识在初高中阶段的纵向上的查漏补缺就成了必不可少的手段了。建议高一新生在必要时随时备着相关初中数学课本或是初中知识总结大全之类的辅导书。

每当在高一数学课上遇到初中数学的知识而自己又恰恰没掌握住的时候，就要及时的复习、理解并掌握好。通过这样纵向地、有针对性地对数学知识的查漏补缺，就能快速补足学好高中数学所必需的重点知识。

第四，寻求帮助。

高中数学跟初中数学比起来，还有一个很明显的特点就是更加注重对学生的思维能力的培养，对学生各个数学能力的要求也更高。再加上高中数学的难度大、课程紧，不是总有富余的时间去及时补上新知识的漏洞的。

高一新生在课下积极思考的同时，如果时间实在不够用时就要学会积极地向同学和老师寻求帮助。这样能让自己尽快补足知识上的短板，从而避免知识上的掉队。

第五，尽早开始对数学能力和数学素养的培养。

在新高考体制的改革下，要学好高中数学就必然离不开数学素养的培养。而数学素养的培养不是一朝一夕的事。高考要求的数学素养等到高三再去培养就太晚了，也是很难培养出效果的。

很多教育专家告诫我们，高中生数学思维和数学素养的培养一定要在高一刚入学的那天起就开始有规划、有目的地去着手培养。

❿ 高一数学必修一有哪些难点

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。

一、内容和课程学习目标

本章中，学生将学习集合与函数概念。通过本章的学习，应当使学生：

1．了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义和作用。

2．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

3．了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。

4．通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。

5．根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、欧拉等）的有关资料，了解函数概念的发展历程。

二、内容安排

本章共安排了3个小节，1个实习作业和3个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（仅供参考）：

1.1 集合约4课时
阅读与思考 集合中元素的个数

1.2 函数及其表示 约4课时
阅读与思考 函数概念的发展历程

1.3 函数的基本性质约3课时
信息技术应用 用计算机画函数图象

实习作业约1课时

小结约1课时

本章知识结构如下：1．集合语言是现代数学的基本语言。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章．教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法和描述法及Veen图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法。

与以往相比，教科书对函数概念的处理方式发生了很大的变化。改变了以往先映射后函数的顺序，直接通过三个背景实例，在问题的引导下分析概括出运用集合与对应语言描述的函数定义。这样，既衔接了初中阶段将函数看成变量之间的依赖关系的认识，又进一步提升到用集合与对应的语言来刻画函数。为了理解函数概念的本质，教科书从函数的三要素、函数的符号、函数表示法三个角度对函数概念进行细化，最后将函数概念推广到了映射。这样处理的目的是将重点放在对函数概念本质的理解上。教科书在不同的时机为学生提供了进行判断、练习、比较、讨论交流的机会，以便使学生通过主动思考与动手操作更好地理解函数概念。

在函数的表示法中，教科书选取了两个贴近学生生活的实例（高一学年三位同学的数学成绩问题，汽车票价问题），展示了如何在实际情境中根据不同的需要选择恰当的表示方法，并结合相关内容介绍了分段函数及其应用。
在讨论函数性质时，教科书通过问题，引导学生经历了“三步曲”：

第一步，观察具体函数的图象，描述图象特征；

第二步，结合相应的数值表，用日常描述性语言描述函数特征；

第三步，引进数学符号，用形式化语言描述函数性质。

希望通过这样的安排，帮助学生更好地认识函数的性质，并体会从直观到抽象的过程。在这个过程中，教科书为学生提供了实际操作、自我探究的机会，例如由学生亲自给出函数最小值的定义等。
函数概念是数学中的基本概念之一，它的发展成熟经历了漫长的岁月，融入了众多数学家的智慧。教科书在本章末安排了关注于函数概念的发展及在此过程中起重大作用的历史事件和人物的实习作业，让学生通过自己的实践和与他人的合作共同了解函数概念的发展历程，感受数学文化。

三、编写本章时考虑的几个问题

1．利用丰富的背景实例创设问题情境，引导学生理解抽象的数学概念。
本章学习的数学知识都是基础性知识，它们的使用贯穿了整个高中数学的学习，而它们又具有较高的抽象性，如函数、函数的单调性等概念。每一个抽象概念的产生与发展总有它的现实或数学理论发展的需要，强调概念产生发展的背景，联系学生原有的认知基础，有利于学生理解抽象概念的内涵。因此，教科书就本章数学概念的特点选取了具有时代特点、贴近学生实际的事例创设情境。例如在引入元素和集合时，教科书安排了8个实例，既包括学生熟悉的“1～20以内的质数”“所有的正方形”等例子，又有与生活密切相关的“新华中学2004年9月入学的高一学生的全体”等例子；在引入函数一般概念时，选取了生活中的实例：炮弹的高度与时间的关系、南极臭氧空洞面积从1979年到2001年变化的图象、“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表；在介绍函数基本性质时，教科书运用了学生熟悉的二次函数、一次函数的图象和数值表。在这些背景实例中，教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性、挑战性的问题，引导学生经历观察、思考、探究、交流、反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。例如，在函数单调性学习时，教科书在通过对图象观察，获得图象的特征后提出问题：“如何用数学形式化的语言描述函数图象的‘上升’、‘下降’呢？”，根据数值表就二次函数得到文字语言描述后，给出思考问题“对于用函数解析式f(x)=x表示的函数，如何用数学形式化的语言描述‘随着x的增大，相应的f(x)随着减小’、‘随着x的增大，相应的f(x)也随着增大’？”。

丰富的背景实例、恰当的问题串和精辟的分析展现了知识发生发展的过程，反映了从具体到抽象、特殊到一般的原则。对于学生，这些问题串就是他们在学习过程中主动思考、主动探究的“指示牌”，通过层层深入的思考与探究，经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

2．重视数学思想方法的渗透，体现数学的文化价值

“科学性”与“思想性”是本套教科书努力创新的一个方面。根据本章数学知识内容的特点，教科书充分渗透了数形结合的思想方法。无论是利用Veen图表示集合的关系和运算，还是从对函数图象特征的描述入手，逐步获得严格的形式化的函数性质的定义，几乎在本章的每一处都充分体现了这一思想方法。并且，教科书还为学生掌握这一思想方法提供了许多机会，期望学生在阅读、思考与运用中逐渐掌握数形结合的方法，感受几何直观对理解抽象概念和解决问题中的作用。
教科书尽最大可能地展示了联想、类比、推广等研究数学问题中常用的逻辑思考的方法。例如通过类比方法的运用，类比数的大小、相等关系引入集合间的包含、相等关系；通过类比数的加法运算引出集合“并”的运算；通过推广函数概念获得了映射概念，等等。教科书中展示逻辑思考方法，可以使学生体会数学思考和探索活动的基本规律，养成良好的思维习惯，形成有条理地、符合逻辑地进行思考、推理、表达与交流的能力。

数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。本章对数学文化给予了很大的关注，不仅提供了“阅读与思考 函数概念的发展历程”，而且还安排了让学生通过收集资料、阅读思考、合作交流等学习方式完成实习作业，希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶，逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。

3．提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习

丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。本章在知识内容的呈现上为引导学生的积极思考、自主探索留下了比较充分的空间，采取的主要方法有：

（1）设置具有启发性和挑战性的问题，引发学生的思考和探究。例如：

思考 我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？

考察下列各个集合，你能说出集合 与集合A，B之间的关系吗？

①A={1，3，5 }，B={2，4，6 }，C={1，2，3，4，5，6 }；

②A={有理数}，B={无理数}，C={实数}。

（2）在适当的时候提出学习要求或预留空白，为学生提供动手实践的机会。例如1.2节的例5的边框中提出如下要求：

是否可以设计一个表格，让售票员和乘客非常容易地知道任两站之间的票价？

（3）通过拓展性栏目，引导学生根据自己的兴趣，翻阅更多的资料，经过阅读自学、独立思考、讨论交流获取更多的知识。

例如1.1集合中的“阅读与思考 集合中元素的个数”。

四、对教学的几个建议

1．把集合作为一种语言来学习

根据标准的要求，高中数学课程只将集合作为一种语言来学习。因此，学习集合初步知识的目的主要在于能使用最基本的集合语言表示有关数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。在教学中，可以将集合语言与自然语言及图形语言进行比较，并注意创设让学生使用集合语言进行表达和交流的丰富情境和机会，特别是在学习集合间的关系和运算时，要重视使用Venn图，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言的各自特点，并能根据实际需要进行相互转换，从中感受集合语言的意义和作用。例如利用问题“在平面直角坐标中，集合 就表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么？集合C、D之间有什么关系吗？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系”，可以使学生体会集合语言表达数学内容的特点，在不同语言的转换中感受集合语言的作用。在教学时，可以充分利用教科书提供的机会或开发一些情境，逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。

2．函数概念的处理方式

与以往相比，本章发生变化最大的就是函数概念的处理方式，在教学时，应给予充分的重视。从“先讲映射后讲函数”转变为“先讲函数后讲映射”的主要理由在于这样可以使学生更好地理解函数概念的本质。其一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；其二，单刀直入进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念本质上，而不必花大量精力学习映射、认识映射与函数间的关系后才能理解函数概念。从丰富的具体事例中概括函数的本质特征，得出函数概念，体现了从具体到抽象的认知规律，有利于学生建立关于抽象的函数概念的背景支持。在教学中，可以多为学生提供丰富的背景实例，也可以让学生自己举出一些函数实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念。

当然，对函数概念本质的理解并非一次就可以实现的，要通过与初中定义的比较、与其它知识的联系以及不断的应用等才能逐步理解。除了在本章要适当地为学生提供反复理解函数概念的机会外，在后续的学习中，应当通过基本初等函数的学习，引导学生以具体函数为依托，反复地、螺旋上升地理解函数的本质。

3．重视信息技术的使用

考虑到我国不同地区信息技术硬件条件的差异性，以及可用于数学教与学的不同软件各具优势，教科书没有在正文中详述信息技术的使用，只在适于使用信息技术的地方利用边框给予提示，但在信息技术应用栏目中对用计算机做函数图象做了较为详细的介绍。

本章有许多可以使用信息技术的机会，例如函数的求值，作函数的图象，研究函数的性质等，这主要是基于信息技术的图象功能和数值计算功能，它不仅能便捷地计算函数值、迅速绘制函数图象，而且许多软件具有交互式的动态环境，非常有利于学生的主动探究。因此，有条件的学校应尽量地加强数学教学与信息技术的整合，积极开发使用信息技术的空间，让学生利用信息技术探索函数的图象与性质等，从而更好地理解函数概念。