数学反演

1. 什么是反演计算，在网上找了很长时间，没有找到具体的解释

我知道的反演是电工里面逻辑函数计算的不是数学的。反演就是将逻辑函数表达式里面所有的“•”换为“+”，所有的“+”换为“•”，所有的常量“0”换为“1”，所有的常量“1”换为“0”，所有的原变量换为反变量，所有的反变量变为原变量。
不知道能不能帮到你

2. 反演变换的数学反演变换（inversion)

正幂反演的性质：
1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。
2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）
3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。（直线→圆）
4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。（圆→直线）
注：性质3和4互为逆命题。
5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。（圆→圆）
由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为 反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。
6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。
上述性质6—8可经综合为 两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。定理二称为反演变换的反向保角性。
因反演变换具有保圆性和反向保角性而成为证题和作图中的重要工具。由定理一、二易得：
9、正交两圆其反象仍正交。
10、相切两圆的反象仍相切，若切点恰是反演中心，则其反象为两平行线。
负幂变换可以转化为一次正幂变换和一次关于反演极反射的积来代替。

3. 什么是反演变换

http://ke..com/view/1723162.htm
自己看

4. 初等几何变换中的反演变换是什么意思

将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。如果某种几何变换的全体组成一个“群”,就有相应的几何学,而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容（见埃尔朗根纲领）。例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容。几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景。几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用。 反演变换 在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对任一异于O点的P点,将其变换成该射线OP上一点P┡,且使OP┡·OP=R,这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O 叫做反演中心或反演极，R 叫做反演半径或反演幂 从定义可知，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。 空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之也成立。 反演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。

5. 反演的数学上

反演(inversion)
反演在数学(某些几何证明)上有很重要的作用.
把[1,+∞)放入(0,1],可以用取倒数的方法.这是一维上的反演.
二维上反演以一个特定的反演圆为基础:圆心O为反演中心,圆半径为常数k,把点P反演为点P'就是使得OP×OP'=k^2(即k为OP和OP'的几何平均).
如点P在圆外可这样作:过点P作圆的切线(两条),两个切点相连与OP连线交点就是点P'.
如点P在圆内就把这一过程反过来即可:连结OP,并且过点P作直线垂直于OP,直线与圆的交点处的切线的交点就是点P'.
如点P在圆上,反演后仍是它自身.按上述方法都可用尺规作图完成.

6. 数学模型反演解法概述

数值模拟反问题常常转化为优化问题，函数优化就是求一个函数的最优值以及达到该最优值的最优点，而最优化算法本质上是一个最优值的搜索过程。经典的优化算法如牛顿法、单纯形法、共轭方向法、最速下降法和罚函数法等，一般对目标函数要求连续、可微甚至于高阶可微、单峰等；需要对函数求一阶、二阶导数；受初值影响较大，算法容易陷入局部最小值，对于多峰函数优化问题具有较大局限性。

20世纪80年代初期以来，地下水水流与溶质迁移模型和数值优化方法相结合越来越普遍，目前常用的主要有以下两种方法。

3.4.7.1 数学规划方法

主要包括线性规划（LP），该方法广泛应用于线性目标函数及流量约束的地下水管理问题，解线性规划的软件主要有AQMAN，MODMAN，MODOFC，MODFLIP；非线性规划（NLP）；混合整数线性规划（MILP）；混合整数非线性规划（MINLP）。其中线性规划法计算效率较高，但仅适用于承压含水层，通常不能有效地处理溶质运移问题。非线性规划与动态规划的应用较广泛，计算效率上有优势，但需要计算目标函数对决策变量的导数即梯度，因此，该方法又被称为梯度法，在目标函数很复杂，而且为非线性时，结果往往会陷于一个局部最优解而不能识别全局最优解。

3.4.7.2 全局优化方法

主要以启发式搜索技术为根据的一类优化方法，包括模拟退火法、遗传算法、禁忌搜索法、人工神经网络法、外围近似法等，这些方法有识别全局或接近全局范围内最优解的能力。全局优化法能够模仿一定的自然系统，通常计算量很大。本书主要介绍4种现阶段应用广泛发展较为迅速的优化算法。

遗传算法（Genetic Algorithms，GA）是一类借鉴生物界自然选择（Natural Selection）和自然遗传机制的随机搜索算法（Random Searching Algorithms），求解问题一般包括编码、计算适应度、选择、交叉、变异、循环回到计算适应度，反复进行直到满足终止条件。该算法是处理一般非线性数学模型优化的一类新的优化方法，对模型是否线性、连续、可微等不作限制，也较少受优化变量数目和约束条件的束缚，其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，能在搜索过程中自动获取和积累相关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解。目前已广泛用于函数优化、参数辨识、机器学习、神经网络训练、结构设计和模糊逻辑系统等方面。常用的GA计算程序有MGO（Molar Groundwater Optimizer），模块化地下水优化程序，该程序是地下水水质管理的通用优化模型。将水流和迁移模拟程序与遗传算法相结合，能适应非线性复杂目标函数，能够处理水头、梯度、水流以及浓度等约束条件。SOMOS程序，实现了包括遗传算法和人工神经网络的优化算法，能处理经济、环境以及地下水管理体积等问题，同时SOMOS可以将MODFLOW和MT3DMS作为模型的组成部分进行运算。但是目前遗传算法的应用还存在明显的不足，主要表现为以下几点：

1）GA的算法设计和关键控制参数选择对优化性能的影响明显，直接影响算法的搜索效率和优化性能，甚至导致“早熟”收敛；

2）参数识别研究中的编码方案以二进制编码为主，计算量和存储量大。

人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）是由大量神经元通过极其丰富和完善的联结而构成的自适应非线性动态系统，它使用大量简单的相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力，从外界环境或其他神经元获得资讯，同时加以简单的运算，将结果输出到外界或其他人工神经元。神经网络在输入资讯的影响下进入一定状态，由于神经元之间相互联系以及神经元本身的动力学特性，这种外界刺激的兴奋模式会自动地迅速演变成新的平衡状态。人工神经网络是一种计算系统，包括软件与硬件，它使用大量简单相连的人工神经元来模仿生物神经网络的能力。人工神经网络是生物神经元的简单模拟，它从外界环境或者其他神经元取得资讯，同时加以非常简单的运算，输出其结果到外界环境或者其他人工神经元。人工神经网络系统反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神经系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟，这也是当前的现实情况。是目前对人脑神经及其智能机理的研究水平所能做到的，对人脑智能机理的简化、抽象和模拟是人工神经网络研究的基本出发点。

支持向量机是基于统计学理论的VC维理论和结构风险最小化原理而提出的一种新的机器学习方法。与传统的神经网络学习方法相比，支持向量机从结构风险最小化原则出发，求解的是一个二次规划问题而得到全局最优解，有效地解决了模型选择与过学习问题、非线性和维数灾难以及局部极小等问题，在解决小样本、非线性、高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。

模拟退火算法是对固体退火过程的模拟。在金属热加工工艺中，将金属材料加热到某一高温状态后，让其慢慢冷却，随着温度的降低，物质的能量将逐渐趋近于一个较低的状态，并最终达到某种平衡。模拟退火算法是基于金属退火的机理而建立的一种全局最优化方法，它能够以随机搜索技术从概率的意义上找出目标函数的全局最小点。模拟退火算法的主要缺点是解的质量与求解时间之间存在矛盾，该算法对于多应力期模型和大量水文地质参数的反演，收敛缓慢，得不到满意的结果。

7. 反演问题的一些基本概念

1.1.1 反演问题的必要性

当用数值法对地下水运动进行模拟时，所建立的数学模型应当客观地反映实际含水层系统的水文地质条件和地下水运动的基本特征。也就是说，当施加自然的或人为的影响时，数学模型的反映和实际含水层的反映应当一致或非常接近。只有这样，我们才能利用模型来预测含水层系统的状态，进行合理的管理与控制。因此，我们必须对所建立的数学模型进行检验，即利用已建立的微分方程和定解条件，模拟已知的实际过程（天然地下水位动态或抽水试验过程），将计算值与实测值相比较。如果相差过大，就要修改微分方程或边界条件或参数，重新模拟，直至基本吻合为止。

事实上，反演问题的核心内容是水文地质参数识别问题。因为微分方程类型的选择和定解条件等的确定，通过水文地质勘探和试验是比较容易解决的。在反演过程中，即使对这两项进行修改，由于可供选择的类型有限，问题也较容易解决。然而，我们却不能直接将根据野外试验资料用解析公式求得的水文地质参数用于数值计算的正演问题。这是因为，地下水动力学中各解析求参公式的数学模型与实际情况出入较大，如含水层均质、各向同性、等厚、无限延伸等假设。严格地讲，解析公式求出的水文地质参数也仅适用于与求参公式相对应的数学模型的正演问题。事实上，参数与模型相对应，这就是所谓的模型参数的概念。另一方面，野外抽水试验求得的水文地质参数只代表试验点附近一个很小的区域。因此，我们必须用基于相应的模型反求水文地质参数。

1.1.2 模型参数的概念

自然界地下水流系统在时空域上都是非常复杂的，为了便于解决实际问题，必须对含水层系统进行概化，即忽略一些和当前问题无关或关系不大的因素，建立相应的数学模型。概化一般包括以下几个方面：

1）地下水流系统区域几何形状的概化；

2）边界性质的概化与初始流场的模拟；

3）参数性质的概化；

4）地下水流态的概化。

由于数学工具的局限性，往往概化得非常合理的水文地质模型，却不能用现有的数学工具来描述，或者可以描述却不能得到它的解。因此，权宜的做法是“两相凑合”，即使概化不失大体，而数学模型又简单可解。由这里的分析可知，通过对复杂的地下水流系统进行概化而建立起来的数学模型仅仅是对实际地下水流系统的一个近似表述。作为数学模型一部分的参数也是对含水层本身固有参数的近似和综合，它并不是含水层本身所固有的参数。为了区别，我们将按数学模型求得的参数定义为“模型参数”。显然，对同一地下水流系统通过勘探建立水文地质模型时，由于勘探的局限性和工作者经验上的差别，不同的工作者可以建立起不同的水文地质模型，相应地就有不同的数学模型和“模型参数”。因此，在实际工作中，判断参数是否正确将是困难的，不能一概而论。例如，对于一潜水含水层系统，我们既可选用Boulton模型，也可选用Neuman模型对其进行模拟。显然，两种模型参数的个数和类型是有差异的；即使是同类型的参数，由于模型之间的差异，在数值上也不会一致。

1.1.3 反演问题的适定性

对于一个描述地下水流的数学模型，如果满足以下三条：

1）一定可以求得其解（解的存在性）；

2）所求得的解是唯一的（解的唯一性）；

3）这个解对原始数据是连续依赖的，即当参数或定解条件发生微小变化时，解的变化也是微小的（解的稳定性），就称这个数学模型是适定的。

一般来讲，正问题都是适定的，而逆问题往往是不适定的。从水文地质本身来讲，逆问题解的存在性是没有疑问的，因此下面只对解的唯一性和稳定性问题做一些讨论。

1.1.3.1 反演问题解的不唯一性

由于当水文地质参数不同时，仍有可能产生相同的水头分布，所以仅靠水头观测值往往不能唯一确定水文地质参数，如承压一维稳定流模型：

含水层参数识别方法

式中h为地下水水头，T（x）为导水系数，x为坐标，H₁、H₂为给定水头值。

当含水层是均质的，也即T（x）=C时，其水头分布与导水系数T、贮水系数S无关，仅取决于边界条件。由此可见，尽管水文地质参数不同，仍可以产生相同的水头分布。

上述模型的正问题是已知T（x）和边界条件求h（x），现在我们考虑逆向题，即已知h（x），求T（x）。将式（1-1）积分得：

含水层参数识别方法

即：

含水层参数识别方法

虽然是已知的，而常数 C 是任意的，故解 T（x）不是唯一的。但是，如果已知某个断面的流量，例如 x=L 处不仅已知h（x），而且已知

含水层参数识别方法

则式（1-3）中的C=-q，从而T（x）在x=L处被唯一确定了。

再考虑承压二维稳定流动，其方程为

含水层参数识别方法

其中h为地下水水头，T（x）为导水系数，W为源汇项，x，y为坐标变量。

将方程（1-5）改写为

含水层参数识别方法

并令

含水层参数识别方法

将式（1-7）代入式（1-6），得：

含水层参数识别方法

因在区域Ω中的每一点h（x，y）和源汇项为已知，所以方程（1-8）是关于T的一阶线性偏微分方程，其通解一定包含一个任意函数。如T是方程（1-8）的一个解，T′是方程

含水层参数识别方法

的一个解，则T+T′也一定是方程（1-8）一个解。因为

含水层参数识别方法

也就是说，方程（1-5）的解是不唯一的。

1.1.3.2 反演问题解的不稳定性

为了说明该问题，我们再次以一维承压稳定流动为例，其数学模型为

含水层参数识别方法

由公式（1-4）可得：

含水层参数识别方法

由于规则的水头h^*（x）总带有一定误差e，因此我们可以写出

含水层参数识别方法

式中h（x）是真正的水头值。由式（1-10）和式（1-11），得：

含水层参数识别方法

因此T与T^*的绝对误差为

含水层参数识别方法

因此，T-T^*的大小与和的大小有关。e 虽然很小，但可能仍然很大。如果

含水层参数识别方法

于是

含水层参数识别方法

很明显，这是不符合实际的。因此在上述情况下，逆问题的解是不稳定的，即水头h（x）的微小误差可能导致所求参数的较大误差。

以承压二维稳定流为例

含水层参数识别方法

假设已知区内水头函数h（x，y）和源汇项W，求导水系数T（x，y）。

由式（1-5）得：

含水层参数识别方法

由于h（x，y）只能通过实测获得其近似值，不可避免地会带有误差。设误差为e（x，y），则实测水位值h′=h+e（H为水头真值），计算得的导水系数为

含水层参数识别方法

即使 e（x，y）很小，但，仍然可能很大，因而绝对误差 T-T′ 可能很大。以上讨论表明，反演问题的解是不稳定的，即水头微小的误差可能给逆问题的解 T（x，y）带来很大的误差。因为逆问题的不适定性，求解时常加上约束条件，以避免出现不合理的情况。例如，由水文地质常识可知，渗透系数和导水系数都是非负的，即 K≥0，T≥0。贮水系数和给水度不能大于1，即0≤μ≤1，0≤S≤1等等。

Neuman^［2］较为系统的研究了逆问题解的不唯一性和不稳定性问题，此后我国学者薛愚群、孙讷正、陈崇希等人^［3～10］也对这些问题进行了讨论，有兴趣的读者可参阅有关著作。

8. 数论函数的反演公式

设n为正整数,则有反之亦然。这就是著名的麦比乌斯反演公式，它还有乘积表达式。则
麦比乌斯反演公式是R.戴德金1857年给出的，它有多种推广形式，在数论和组合数学中都很有用。例如由,用麦比乌斯反演公式立即可得。因为nu是积性函数,所以也是积性函数，于是容易求得σu(n)的表达式。以素数 p为模，把多项式xp-x分解为不可约多项式之积,设其素因式的次数为m,已知m|n，反之，任一个m(m|n)次不可约多项式一定是该式的因式,设φn表示对模p的n次不可约多项式的个数，故有由麦比乌斯反演公式得，故得φn>0，即知道元素个数为pn的有限域存在。

9. 逻辑代数中的反演规则和对偶规则

1、反演规则

若将逻辑函数f表达式中所有的“·”变成“+”，“+”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变 ，则所得到的新的函数为原函数f的反函数

(9)数学反演扩展阅读：

逻辑代数有与、或、非三种基本逻辑运算。它是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是用来分析和设计数字电路的数学工具。此外，逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式。

与逻辑和乘法：乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。

10. 数学中的仿射和反演变换

原理在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量

双仿射变换b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1.设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k^2(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。