2005数学一

❶ 2005江西高考数学题及答案

2005年江西高考数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 则
（A） （B） （C） （D）
2．设复数 若 为实数,则
（A） （B） （C） （D）
3．“ ”是“直线 与圆 相切”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
4． 的展开式中,含 的正整数次幂的项共有
（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项
5．设函数 ,则 为
（A）周期函数,最小正周期为 （B）周期函数,最小正周期为
（C）周期函数,最小正周期为 （D）非周期函数
6．已知向量 ,若 ,则 与 的夹角为
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数 的图象如右图所示
（其中 是函数 的导函数）.下
面四个图象中 的图象大致是

8．若 ,则
（A） （B） （C） （D）
9．矩形ABCD中, ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ,则四面体ABCD的外接球的体积为
（A） （B） （C） （D）
10．已知实数 满足等式 ,下列五个关系式
① ② ③ ④ ⑤
其中不可能成立的关系式有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11．在 中,O为坐标原点, ,则当 的面积达到最大值时,
（A） （B） （C） （D）
12．将 这 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共的小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.
13．若函数 是奇函数,则
14．设实数 满足 ,则 的最大值是＿＿＿＿＿
15．如图,在直三棱柱 中,

分别为 的中点,沿棱柱的表面从
E到F两点的最短路径的长度为＿＿＿＿＿＿
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点, 为非零常数,若 ,则点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若 ,则动点P的轨迹为椭圆；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 与椭圆 有相同的焦点.
其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）.
三．解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ,解关于 的不等式：
18．（本小题满分12分）
已知向量 ,令
是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求
出 的值；若不存在,则证明之.
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢
得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达到9次时,或在此前某人已赢
得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求 的取值范围；
（2）求 的数学期望
20．（本小题满分12分）
如图,在长方体 中, ,点E在棱AB上移动.
（1）证明： ；
（2）当EAB的中点时,求点E到面 的距离；
（3）AE等于何值时,二面角 的大小为 .
21．（本小题满分12分）
已知数列 的各项都是正数,且满足：
（1）证明
（2）求数列 的通项公式
22．（本小题满分14分）
如图,设抛物线 的焦点为F,动点P
在直线 上运动,过P作抛物线
C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切
于A、B两点
（1）求 的重心G的轨迹方程；
（2）证明

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题
13． 14． 15． 16．③④
三、解答题
17．解：（1）将 得

（2）不等式即为
即
①当
②当
③ .
18．解：

19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：

（2）

20．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，
故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，
，设平面ACD1的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量 ，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴ （不合，舍去）， .
∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .
21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则

而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以

,
又bn=－1，所以
22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当 时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.

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2005年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P（A•B）=P(A)•P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C Pk(1－P)n－k

一、选择题：每小题5分，共60分.
1．已知 为第三象限角，则 所在的象限是 （ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y－1=0平行，则m的值为 （ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．在 的展开式中 的系数是 （ ）
A．－14 B．14 C．－28 D．28
4．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为 （ ）
A． B． C． D．
5． （ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．设 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
8． = （ ）
A． B． C．1 D．
9．已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到
x轴的距离为 （ ）
A． B． C． D．
10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有 （ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数
符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0

第Ⅱ卷
二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．已知复数 .
14．已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k= .
15．设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取 用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ= .
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是
三.解答题：共74分.
17．(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、
乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概
率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.

18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

19．（本小题满分12分）
△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，
（Ⅰ）求cotA+cotC的值；
（Ⅱ）设 的值.
20．(本小题满分12分)
在等差数列 中，公差 的等差中项.
已知数列 成等比数列，求数列 的通项

21．（本小题满分14分）
设 两点在抛物线 上，l是AB的垂直平分线.
（Ⅰ）当且仅当 取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设 ，函数
使得 成立，求a的取值范
2005年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）参考答案

一、1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.C 10.C 11.D 12.B
二、13、 ，14、 ，15、 16、3
三、解答题：
17．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C，由题意.各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件
（Ⅰ）由题意得： P（A•B）=P(A)•P(B)=0.05
P（A•C）=P(A)•P(C)=0.1
P（B•C）=P(B)•P(C)=0.125
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5
（Ⅱ）记A的对立事件为 B的对立事件为 ，C的对立事件为 ，
则 ，
于是
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
18．证明：方法一：（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AF，BE，
∵△VAD是正三形， ∴AE⊥VD，AE=
∵AB⊥平面VAD， ∴AB⊥AE.
又由三垂线定理知BE⊥VD. 因此，tan∠AEB=
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作A（1，0，0），
则B（1，1，0）， ，

由 得AB⊥VA. 又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直. ∴AB⊥平面VAD.
（Ⅱ）解：设E为DV中点，则 ，

由
因此，∠AEB是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为
19．解：（Ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
于是

（Ⅱ）由
由余弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosB 得a2+c2=b2+2ac•cosB=5.

20．解：依题设得
∴ ，整理得d2=a1d，
∵
得 所以， 由已知得d，3d，k1d，k2d，…，kndn…是等比数列.
由 所以数列 1，3，k1，k2，…，kn，…
也是等比数列，首项为1，公比为
等比数列 ，
即得到数列
21．解：（Ⅰ） 两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线， 不同时为0，
∴上述条件等价于
∵ ， ∴上述条件等价于
即当且仅当 时，l经过抛物线的焦点F.
（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为 ；过点A、B的直线方程可写为 ，所以 满足方程 得 ；
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为 ，则

由
即得l在y轴上截距的取值范围为（ ）.
22．解：（I）对函数 求导，得
令 解得
当 变化时， 的变化情况如下表：

0 （0， ）

（ ，1）
1

－ 0 +

－4
－3

所以，当 时， 是减函数；当 时， 是增函数.
当 时， 的值域为[－4，－3].
（II）对函数 求导，得
因为 ，当 时，
因此当 时， 为减函数，从而当 时有
又 即 时有
任给 ， ，存在 使得 ，
则 即
解①式得 ；解②式得
又 ，故a的取值范围为

❸ 2005年考研数学1第16题

原幂级数括号内的部分通分后较复杂，故把f(x)拆成两项。对于第二项(-1)＾内(n-1)* 1/ n(2n-1)*x＾2n，由于x的2n次方，且容其系数中有n(2n-1)，即将系数写成2n(2n-1)，利用逐项求导即可。(前面分母多乘了2，故第二部分的和函数需要在乘以2。)