数学模型答案

A. 数学模型姜启源第二版习题答案

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B. 请教：数学建模，希望能给出详细答案

本文讨论的是学生体能测试时间最优安排问题。在每个测试项目每人测试时间与测试机器数量一定的情况下，对问题一、二、三建立数学模型，并借助于LINGO软件进行求解，解决了如何安排以尽可能少的时间完成所有项目的测试问题。
模型一：考虑一个班级的情况，分析项目的测试时间与机器数量，将五个测试项目分四个组进行同步测量，并将班级的学生按学号连续分成四个组，建立多目标线性规划模型，得出测量时间最少的方案一。
模型二：考虑多个班级的情况，同样先将五个测试项目分成四个组进行同步测量，并将班级的学生按学号连续分成四个组，建立线性规划模型并求解，得出测量时间最少的方案二。
模型三：在模型一与模型二的基础上，考虑仪器数、场地容量与分组情况，再次建立与求解规划模型，提出了最优决策方案。
[关键词]：体能测试 等待时间 规划模型

一、问题重述
（一）问题的基本情况与要求：
体能测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。现有身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前都要录入个人信息，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，同一班学生的学号是相连。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。
（二）需要解决的问题：
（1）学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
（2）用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，用图表形式表示出测试时间的安排计划
（3）对学校以后的体能测试就“引进各项测量仪器”，“增加测试场所的人员容量”，“一个班的学生测试时是否需要分组”等几个方面作出讨论。
二、问题分析
问题一的分析：
此时只考虑一个班的学生数，人数必定在容纳范围之内，只需考虑使录入和等待时间尽可能小这两个条件。前一条件可对学生进行连续分组。后一条件，由于身高与体重的测试和握力测试两项的总时间均小于其他三个单项的测试时间，故可将它们看为一个整体。即将该班分成学号连续的4组，同步测量，产生四个阶段。所有的同步测量项目全部完成为各个阶段结束的标志。在每个阶段中，4组项目里必定有测试所需时间最多与最少的一组，这两组之差（这两组之差，记为等待时间，它是一个变量；同个组内学生的等待时间为一个常量）越小即意味着这四组越接近同步地完成这一阶段的测试。规划问题的求解，找出规划的目标函数，为令这四个阶段的等待时间之和最小。
问题二的分析：
在给定的测量仪器中，身高与体重的测量仪器有三台，每台仪器每个学生的平均测试时间（包括学生的转换）为10秒，即每个学生的测试时间为秒（由此可以知道测量的人数是3个人或3个人以上且是被3整除）；握力测量仪器有两台，每台仪器每个学生平均测试时间为15秒，即每个学生的测试时间为秒（由此可以知道测量的人数是2个人或2个人以上且被2整除），又因为身高与体重和握力所测试的时间之和还小于立定跳远、肺活量、台阶试验所需要的时间，所以可以将身高与体重和握力看成一个整体；立定跳远、肺活量测量仪器各一台，每台仪器每个学生平均的测试时间为20秒，即每个学生的测试时间为20秒；台阶试验测量仪器有两台，每台仪器一次测试5个学生，而每台每个学生平均测试时间为210秒，所以每个学生的测试时间为21秒（由此可以知道测量的人数是10个人或10个人以上且被10整除），由此可以得出这四者时间比为1：2：2：2。根据问题一的思路，建立模型，最后用拟合的方法对各班级进行数据拟合，求出最佳分组方案。
问题三的分析：
该问题是对问题一和二的深入和扩展，就仪器数，场地容量大小和分组情况进行讨论。
三、模型假设
1) 每个项目同组测试的学生学号连续；
2) 测试的机器均正常工作；
3) 学生测试一个紧接着一个，之间没有时间空格；
四、符号说明
：第 组测试的人数 ；
：第 阶段中测量时间最长的项目所花的时间；
：第 阶段中测量时间最短的项目所花的时间；
：第 阶段测试学生等待时间总和
：一个班的学生总人数；
N ：几个班合起来的学生总人数；
：每个阶段中测试人数多的项目向人数少的项目调出的人数；
五、模型建立与求解
模型一 我们把每班分成四个小组， 为第 组测试的人数 ，同时把测试过程分成四个阶段，每一阶段每一组都要完成所有规定的测试项目，当每一组测试完某一项目后进入下阶段测试时，每组间可以随机变换每一项测试项目，但不重复测试。根据题目分析，测量身高与体重、握力的人均时间之和，比测量立定跳远、肺活量、台阶中每一项人均时间还要小，因此将测量身高体重与握力所用的时间合在一起，把测量学生分成4组，其目标使：

假设将某个班分组，每组人数都被2、3、10整除，这样每个项目测量利用率最大。
第一阶段的模型：

约束条件：
第二阶段的模型：

约束条件：
第三阶段的模型：

约束条件： ；
第四阶段：
；
；
约束条件： ；
其中， ，

：代表一个整数的中间变量 。

假设一个班有40人分成四组，四组的学号分别1—10；11—20；21—30；31—40。第一组测完之后，第二组接上去测，这样学号连接着，这样就可以减少录入时间，拟定了一套方案如图：

总目标函数为：
第一阶段：
；
；
约束条件： ；
第二阶段：
；
；
约束条件： ；
第三阶段：；
；
；
约束条件： ；
第四阶段：
；
；
约束条件： ；
其中， ，

：整数 ；
结论：令各个阶段的等待时间最短，就可以使得整个过程的测量时间最短。
模型二： 由问题二分析可知，每个学生测试身高体重与握力的时间跟立定跳远，肺活量，台阶测试的时间比为约1：2：2：2，也就是说当学生人数比约为2：1：1：1，所用等待时间是最短的，但当到达第二阶段第三阶段第四阶段时，所用时间并不是最优的。为使整体达到最优化状态，可以将分配到测量身高体重与握力的学生拿出一部分平均分配到立定跳远、肺活量、台阶测试组，而这比例中分析可以知道，测量身高体重与握力的人数还要大于其余各组的人数，所以当达到第二阶段时，在时间比不变的情况下，人数发生变化，测量身高体重与握力，肺活量和台阶试验的人数是一样的，立定跳远的人数最多。测量身高体重与握力的时间最少，而立定跳远的时间则是相对最多的，由此也可以达到最优。第三阶段与第四阶段与前两阶段一样，可以做到时间最优，从而达到整体最优。该测试场所所能容纳的最多人数是150个学生，因此可以先将150个学生看成一个整体，即学生的学号也是连续的。

用 LINGO软件进行求解，得出结果。（附录一）测试完所有的学生所用的等待时间最少为1575秒，此时第一阶段所用最长时间 为845秒，第二阶段所用最长时间 为805秒，第三阶段所用的最长时间 为805秒，第四阶段所用的最长时间 为845秒，从而可以知道测试完所有学生所用的时间为3300秒。而从测量身高体重与握力的学生中分配出去的人数为21人，所以每个组安排的人数应为39，37，37，37人。
在测试的等待时间最少的情况下，录入时间减少，那么整体时间也就可以减少。录入时间尽可能小的方法是减少录入次数。在班级组合的情况下，每个班里被分开的学生人数越少，录入次数也就越小。
20以下 19，17，17，
20-29 26，20，20，25，20，28，25，20，24，20，20，
30-39 38，37，30，39，35，38，38，30，36，32，33，33，39，37，38，39，37，39，
40-49 41，45，44，44，44，42，45，45，45，44，41，44，42，40，42，43，41，42，45，42，
50以上 51，50，50，75，

按照上面要求根据班级人数对其拟定组合，安排如下：
序号 序号
1 39，37，37，37 8 44，44，42，20
2 75，50，25 9 41，43，36，30
3 51，45，44，20 10 41，42，17，30，20
4 50，42，38，20 11 42，38，32，38
5 45，45，40，20 12 39，33，28，35
6 45，45，41，19 13 39，33，38，39
7 44，44，42，20 14 26，25，24，17
对各班组合人数为150的记多出的录入次数为 （i=1,2,3……）， 依次为0，2，3，3，3，3，3，3，3，3，3，；多次运行附录一程序得出对应的 ，由公式 （录入时间5秒，5项累加为25），可以得到多个班组合成150人的整体后又分别对应的一个时间段 （ 代表第i个组合的所有学生5项全部测完所花的时间），依次为：3300，3350，3375，3375，3335，3375，3375，3375，3375，3375，3375。班组合人数达不到150，剩下三个组合人数分别为135，149，92人，通过每项测量时间比例分析，首先能被5整除的整数部分按比例分配到各测试中去，还有余数的都归到身高与体重和握力。
；
约束条件 运用LINGO软件进行求解，得出结果。（附录二）在将135个学生看成一个班时，等待时间最少为1475秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为685秒，第三阶段的最长测试时间为685秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3060秒。（附录三）在将149个学生看成一个班时，等待时间最少为1600秒，而第一阶段的最长测试时间为845秒，第二阶段的最长测试时间为705秒，第三阶段的最长测试时间为705秒，第四阶段的最长测试时间为845秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为3100秒。（附录四）在将92个学生看成一个班时，等待时间最少为1080秒，而第一阶段的最长测试时间为635秒，第二阶段的最长测试时间为445秒，第三阶段的最长测试时间为445秒，第四阶段的最长测试时间为635秒。不同班级的组合方式如下表。测量135个学生的总时间为2160秒。
不同班级的组合方式
时间段 全校班级组合 班级组合后的人数 所需时间(分) 秒
8:00-9:00 40\43\11\38 （39，37，37，37） 54.33333333 3260
9:05 -10:05 54\45\24 （75，50，25） 55.16666667 3310
10:10-11:10 33/37/14/8 （51，45，44，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 44/41/39/9 （50，42，38，20） 55.58333333 3335
13:30-14:30 2/13/35/42 （45，45，40，20） 55.58333333 3335
14:35-15:35 15/48/50/52 （45，45，41，19） 55.58333333 3335
15:40-16:40 3/4/7/9 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
8:00-9:00 6/16/36/46 （44，44，42，20） 55.58333333 3335
9:05 -10:05 25/26/31/47 （41，43，36，30） 55.58333333 3335
10:10-11:10 1/18/27/49/55 （41，42，17，30，20） 55.58333333 3335
11:15-12:15 10/29/21/51 （42，38，32，38） 55.58333333 3335
13:30-14:30 34/32/20/23 （39，33，28，35，） 51 3060
14:35-15:35 19/22/30/53 （39，33，38，39，） 51．66 3100
15:40-16:40 5/12/28/56 （26，25，24，17） 36 2160
问题三：
对学校以后的体能测试就“引进各项测量仪器”，“增加测试场所的人员容量”，“一个班的学生测试时是否需要分组”等几个方面作出讨论。
由上述解答可知，身高体重与握力的总测量时间跟立定跳远、肺活量、台阶试验的测量时间之比约为1：2：2：2时，满足第一阶段等待时间最短的需求，故身高体重与握力的总测量人数与立定跳远、肺活量、台阶试验的测量人数之比接近于2：1：1：1。但是在第二阶段中，人数之比另有（1：2：1：1 ），（1：1：2：1），（1：1：1：2）几种情况，这几种情况都能够大幅影响各个阶段的等待时间。等待时间越小，就应令身高体重与握力的总测量时间跟立定跳远、肺活量、台阶试验的测量时间之比接近1：1：1：1，此时立定跳远，肺活量，台阶测试仪应分别增加1，1，2台。而令满足第一阶段等待时间最小且对应的人数之比为1：1：1：1时，不论哪个阶段等待时间都是最小的。此时新增的仪器数量为：身高与体重测量仪3台，立定跳远仪器2台，肺活量测试仪器2台，握力测试仪器2台，台阶测试仪4台，在资金允许的情况下，仪器按照此比例的增加最为合理。
测量场所的人员容量越大，学校安排的总体测量时间也就越少，通过对此学校每个班的人数和每个班的人数在哪个范围的分析如下表：
班级人数 班级个数 总人数 比值
20以下 3 53 0.0535
20-30 11 248 0.1964
30-40 18 648 0.3214
40-50 20 861 0.3571
50以上 4 226 0.0714
合计 56 2036
通过计算他们的期望值，即可求出该学校体能测量场所的容量。该期望值代表的是学生人数，因此对每部分的期望值应进行取整。不同人数段的班级总人数与其相对应的比值乘积之和即为期望值：3+45+209+294+17=568。
假如一个班的学生不进行分组测试，这样只要考虑录入时间；这个班的分组测试既要考虑各组（各组学生的学号是连续的）的录入时间又要考虑等待时间，这两种情况只要考虑哪个时间长。假定这个班级有学生数为n，第一种情况的录入时间为25n；第二种情况分组，建立以下模型：
；
约束条件
第二种情况下的时间为（5*25+Z） ，跟第一种的录入时间对比，如果第二种情况的时间小，则应该分组，反之亦然。
六、模型评价
优点：
1) 建立的数学模型通过LINGO软件的运用，严格的对模型进行求解，具有科学性；
2) 建立的模型一有较强的通用性，便于推广；
3) 建立的模型二与实际紧密联系，充分考虑了实际存在的问题，使模型具有较强的应用性。
缺点：
1) 在模型一的建立中，将模型理想化，只考虑测量时间和整体录入时间，并且未能计算出具体方案；
2) 在模型二的建立中，用拟合的方法对人数进行拟合，其结果可能并不是最优的；
3) 由于时间的关系未能将模型三的是否分组一问得出明确的答案。
七、模型扩展
该模型的建立解决的是一个体能测试的时间安排问题，采用动态目标线性规划建立一个相关性模型，再利用时间比例来反映学生人数的一个比例建立单目标规划，最后运用LINGO软件进行求解。因此，该模型还可以应用与其他类似的时间安排，如：零件的测试时间安排，零件安装的时间安排，选课的合理安排等问题。

C. 1.什么是数学模型数学建模的一般步骤是什么 2.数学建模需要具备哪些能力和知识 答的好悬赏加

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解.
数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一.
数学建模的一般方法和步骤
建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式,但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性.建模的一般方法：
机理分析：根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系,找出反映内部机理的规律,所建立的模型常有明确的物理或现实意义.
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统,内部机理无法直接寻求,通过测量系统的输入输出数据,并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型.测试分析方法也叫做系统辩识.
将这两种方法结合起来使用,即用机理分析方法建立模型的结构,用系统测试方法来确定模型的参数,也是常用的建模方法.
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定.机理分析法建模的具体步骤大致如下：
1、 实际问题通过抽象、简化、假设,确定变量、参数；
2、 建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；
3、 用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；
4、 符合实际,交付使用,从而可产生经济、社会效益；不符合实际,重新建模.
数学模型的分类：
1、 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等.
2、 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等.
数学建模需要丰富的数学知识,涉及到高等数学,离散数学,线性代数,概率统计,复变函数等等基本的数学知识.同时,还要有广泛的兴趣,较强的逻辑思维能力,以及语言表达能力等等.

参加数学建模竞赛需知道的内容
一、全国大学生数学建模竞赛
二、数学建模的方法及一般步骤
三、重要的数学模型及相应案例分析
1、线性规划模型及经济模型案例分析
2、层次分析模型及管理模型案例分析
3、统计回归模型及案例分析
4、图论模型及案例分析
5、微分方程模型及案例分析
四、相关软件
1、Matlab软件及编程；2、Lingo软件；3、Lindo软件。
五、数模十大常用算法
1. 蒙特卡罗算法。2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。4. 图论算法。5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。6. 最优化理论的三大非经典算法。7. 网格算法和穷举法。8. 一些连续数据离散化方法。9. 数值分析算法。10. 图象处理算法。
六、如何查阅资料
七、如何写作论文
八、如何组织队伍：团队精神，配合良好，不断的提出问题和解决问题。
九、如何才能获奖：比较完整，有几处创新点。
十、如何信息处理：WORD、LaTeX，飞秋、QQ。
其实主要看下例子就可以了，知道一些基本的模型，我这里也有很多例子，各个学校的讲座都有要的话直接向我要

D. 高等数学概率统计与数学模型'100分求详细过程和答案'！！！！

你好！可以用概率的乘法法则如图计算各个概率，并由结果求出分布函数。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

E. 数学建模试题，求详细解答。

本质上这是一道线性规划问题,思路很直接,题目中给出了四个约束条件,

假设每天服用甲药物版x粒, 乙药物y粒, 除了给出权的四个约束条件之外, 还应该加上

x>0, y> 0这两个条件,于是我们可以给出如下图中淡绿色的有效区域,在这个区域内的

整数点都满足题目中给出的约束, 在这些点当中求最大值或者最小值即可...

过程如此, 关键的一步在于给出条件表达式并且画图,

答案显而易见了.

F. 急求微积分与数学模型高等教育第三版（贾晓峰）课后习题答案

第一题：

(6)数学模型答案扩展阅读

这部分内容主要考察的是微积分的知识点：

高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

如果函数的增量可表示为 Δy = AΔx + o（Δx）（其中A是不依赖于Δx的常数），而o（Δx）是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x）在点

是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x）的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。

G. 数学模型第四版的课后答案有没有

《数学模型》作业解答
第二章(1)（2008年9月16日）
1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
（2）. §1中的Q值方法；
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
1 2 3 4 5
A
B
C 235 117.5 78.3 58.75 …
333 166.5 111 83.25 …
432 216 144 108 86.4

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，

方法一（按比例分配）

分配结果为：
方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

第10个席位：计算Q值为

最大，第10个席位应给C.分配结果为
方法三（d’Hondt方法）
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.
再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3）
A
B
C 3 2 2
3 3 3
4 5 5 4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计 10 10 10 15 15 15

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.
解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得

第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率 与 、S、 的关系.
解: 设 、 、S、 的关系为 ， 其量纲表达式为:
[P]= , [ ]= ,[ ]= ,[ ]= ,这里 是基本量纲.
量纲矩阵为：
A=

齐次线性方程组为：

它的基本解为
由量纲 定理得 ， ， 其中 是无量纲常数.
16．雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.
解：设 , , , 的关系为 , , , =0.其量纲表达式为[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ，即

的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲 定理 得 . ，其中 是无量纲常数.
16 ．雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 、特征尺寸 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.
解：设 , , , ， 的关系为 .其量纲表达式为
[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T0 ，[ ]=LM0T-2
其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 即

的基本解为

得到两个相互独立的无量纲量

即 . 由 , 得
, 其中 是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.
解：设阻尼摆周期 ,摆长 , 质量 ,重力加速度 ，阻力系数 的关系为

其量纲表达式为：
， 其中 ， ， 是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组

的基本解为

得到两个相互独立的无量纲量

∴ , ,
∴ ，其中 是未定函数 .
考虑物理模拟的比例模型，设 和 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为 , ； , ; , . 又
当无量纲量 时， 就有 .
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

令 ， 解得
由 ，得
与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：

令 ，得到驻点：

与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果减少．

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期T内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.
解：由题意可得贮存量 的图形如下：

贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

.
, 得
易得函数 取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: ，
分母 而加的.
总费用函数
最优解为
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设 ， .又设单位时间的销售量为 .今将销售期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为 ，再求 的最优值.
解：按分段价格，单位时间内的销售量为

又 .于是总利润为

=
=

, 得到最优价格为:

在销售期T内的总销量为

于是得到如下极值问题：

利用拉格朗日乘数法，解得：

即为 的最优值.

第三章3（2008年10月21日）

6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费 ＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费 ＝0.18（元）.又现在的订货周期T ＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得：

令 ， 解得：
由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.
又 ＝300＋100k
=353．33＋100k
－ ＝（353.33＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.

《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线 ：20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知：当 过 与 的交点时， x
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20 ＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：

货物 体积
（立方米/箱） 重量
（百斤/箱） 利润
（百元/箱）
甲 5 2 20
乙 4 5 10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为

这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线

及 组成直线 在此凸四边形区域内平行移动.

易知：当 过 与 的交点时， 取最大值
由 解得
.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为S.
则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
s.t.
这是一个整线性规划问题
用图解法进行求解
可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线 ：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当 过 与 的交点时, S取最大值.

由 解得
.
＝3 ＝100.

《数学模型》作业解答
第五章1（2008年11月12日）

1.对于5.1节传染病的 模型，证明：
（1）若 ，然后减少并趋于零； 单调减少至
（2）
解：传染病的 模型（14）可写成

（1）

（2）

4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力 相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用 表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为

.
再由初始条件，得

又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到 .
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则

相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了 乙方取胜的条件为
第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.

解: 设给药速率为

(1)快速静脉注射: 设给药量为 则
(2)恒速静脉滴注(持续时间为 ): 设滴注速率为 解得

(3) 口服或肌肉注射:

3种情况下的血药浓度曲线如下：

第五章3（2008年11月18日）
8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设
求
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到 处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
，

(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为
只吸到 处就扔掉的情况下的毒物量为