定积分物理意义

A. 一句话描述定积分的实际作用

实际作用：

1，解决求曲边图形的面积问题

求由抛物线与直线围成的平面图形D的面积S.

2，求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

3，变力做功

某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

B. 什么是定积分什么是什么

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形

定积分的定义

C. 急求，定积分物理应用

定积分在物理上有很大的意义。 最重要的意义在于可以方便的通过数学方法计算出一个曲线他与X轴所覆盖的面积。通俗的讲，就是可以计算得出一个不规则的曲线，该曲线需用函数来表达，他与你规定的参考系所覆盖的面积。 用你图中的例子，就是可以通过该椭圆的函数，在你画的范围x -50 到 50，求椭圆的定积分。得到计算以后，再用梯形面积公式求出原来河床截面积。用该截面积减去定积分面积，就是多出来的泥沙截面积。然后用截面积乘以河长度，可以得出需要挖掘的泥沙工程量。

D. 谁能告诉我积分在高中物理中表示的物理意义

首先说明：积分是一种数学方法，是牛顿同学为了解决物理问题而创造的一种数学方法，所以物理意义一说没有意义。
说积分先要说微分，微积分合在一起比较容易理解，简单的说就是要一个函数的包围面积（比如V—T图里面积大小就对应着路程），则先无限细分X轴，这叫微分，再通过积分把这些无限细分出来的小块“集合”起来，这叫积分，思想就是这样的，操作起来不是很简单。
针对不同的函数形状，要用另一个函数来表达这个函数的变化，称之为“求导”，这是微积分的基础。
不详细处请参看同济第四版高等数学，比较好的版本。

E. 定积分数值计算的理论意义和应用价值有哪些

定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f(x)为定义在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝ ，任取 xi ∈Δxi，如果有一实数I，有下式成立 ： ，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分，记为I＝f(x)dx。当f(x)≥0时，定积分的几何意义是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”。
积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

F. 定积分的意义是什么定积分的几何意义是在区间【a，b】上纵坐标的和吗为什么定积分又可以表示面积

抽象来说，楼主的说法是对的。

但是，很多人是不会同意楼主的说法的，而且会“严辞驳斥”。

其实楼主的问题还涉及另外一格更为重要的问题：汉语有时无法表达准确的意思。

这一点讲深了，会触犯众怒，成为全民公敌。

1、一般的理解的是，纵坐标是高，积分就是每个对应的高乘以底宽，为几何意义上的面积；

这里的高、宽，都是绝对意义上的高、宽。

2、英文中specific一词，汉语无法准确翻译，凑合的翻译是“比”，譬如比热、比重，大家都

能准确理解。但是specific energy，specific mass，specific volume、、、、、又该如何

翻译？汉语中无一定论。具体来说，电势就是specific energy。

楼主的高，如果是specifc height时，楼主的说法，就完全成立。

可是，我们的集体情绪，我们的民族尊严，我们的政治意识，不允许对汉语有任何负面的

评论，评论者会见光死。

好了，不多说了，关于积分的物理意义，请参见本人的总结图片：

G. 速度的定积分是何意义

程是速度对时间的积分，是曲线v(t)和t轴围成的曲边梯形的面积。在计算曲边梯形的面积时，有两种方法：①黎曼积分：分定义域，用竖着放的小矩形面积之和加以逼近。②勒贝格积分：分值域，用横着放的小矩形面积之和加以逼近。“速度对时间积分”指的是用第①种方法计算v(t)和t轴围成的曲边梯形面积。

时间对速度定积分的物理意义就是：计算总路程时，可以选一个很小的速度区间Δv，在这个速度区间下对应时间变化很小，可以近似为常数t(v)，两者相乘具有路程的量纲，再对每个速度区间下的路程做累加，结果是总路程。上面描述的过程，实际上就是勒贝格积分，不是常用的黎曼积分，但是两种方法求的是同一个曲边梯形的面积，因此算出来的结果是相等的。

H. 大学物理中为什么两边求定积分！！！急急急急急急！

问得好!

这是一个常见的问题：
1、一般的数学教师的教法是：
(1)、两边先不定积分，得到一个含有积分常数的解；
(2)、然后根据初始条件，解出积分常数；
(3)、将积分常数，代入含有积分常数的解中，得到最后的结果。
这种方法在解常微分方程时，屡屡如此。
2、一般的物理教师、天文、地质、气象、水文、工程、、、的教师的解法是：
(1)、两边同时定积分，一步到位，得到最后结果。

说明：
第一、两种解法，也就是不定积分、定积分的解法，没有任何本质差别；
第二、工程中、自然科学中的具体问题，都存在一个对应问题，也就是定解条件。
例如，初始时刻 t₁，对应的速度是v₁；末时刻 t，对应的是速度 v，
两边同时积分，v 从 v₁积分到 v，t从 t₁积分积到 t。
第三、数学教师是为了教数学而教数学，用不定积分他们不觉得是浪费时间；
搞科学和工程应用的，为解决实际问题而用数学，用不定积分纯属浪费时间。
第四、如果写论文时，用不定积分，是浪费篇幅，是下里巴人的写法，专业学报是
不可能浪费篇幅给你用不定积分的方法的，全用定积分，一步到位。

最常见的例子，可以在大学物理，也就是普通物理，定积分的方法，贯彻始终。
普通物理中、理论物理中，如果用不定积分，那是无能的教师才会采取的方法。

用定积分，才能体现具体的物理意义，和物理过程；
用不定积分，不能反映物理过程，更谈不上准确的物理意义了。

积分的有两种真正的物理意义，每种都有两个含义个：
第一种：一是对状态量的求和，如体积、质量、电量、能量等等；
二是对过程量的累积，如做功、焓变、熵变、电势差等等。
第二种：一是对广延量的求和，如质量、电量、能量、转动惯量等等；
二是对强度量的累积，如电场强度、磁感应强度、温度、压强等等。
(这最后强度累积的方法，英文是superposition，汉译是叠加原理)

【说明】：一般的数学教师，并不能认识到积分的这两种区别，原因是：
1、他们真正懂科学、懂工程的人是极少数中的极少数，一般的高中数学教师，
几乎全然不通，根本无法理解，积分在各个科学领域中、工程领域中具体
运用，更不可对科学运用、工程运用做出整体的概括性的分析。在根本上，
他们就是兴趣缺缺。
2、即使是大学数学教授，没有字典，能将英文运用自如，能看、能写、能讲、
能用英文评论数学、科学的人，凤毛麟角。他们的绝大部分脱离了字典就
是瞎子，有了字典仍是哑巴，比比皆是。中学教师，一般而言，数学教师
几乎全是英文高瘫，尤其是县城以下的中学，一所学校平均能有一个数学
教师能应用自如地运用英文，都是天方夜谭。
所以，上面的两种分类，一般教师，教一辈子，注定不会涉及，因为这些还涉及
到methodology，philosophy，logics、、、、。

越是高级的学报，越是专业的教师，越是高深的课程，越是采用定积分的方法。
原因就是：讲专业才是重点。没有时间，也没有必要把时间浪费在花拳绣腿上。
尤其是二维、三维的问题，都必须用定积分解答。

养成习惯就好，省时间，概念清楚，解答精炼，专业性强！

数学老师用不定积分的方法，只能当成入门时的玩艺，以后用定积分，
才能显示你有解决实际问题的能力。以后的二重积分、三重积分、
空间曲面积分、空间曲线积分、、、、都必须用定积分。

【结论】：
1、用不定积分，得到的只是笼统的结论，还必须得出具体的积分常数，这个过程
不如一步到位，直接定积分。其实，确定积分常数的过程，就是定积分的思想，
就是定积分的方法，具体是表现在积分时两边的下限上，待定积分常数用的就
是积分的下限。这方面，楼主要仔仔细细想想，初学者，一时片刻是难悟透的。

2、物理意义的体现有两方面：
第一：积分之前的等式，这个等式如果是数学恒等式，那这个积分只具有数学
意义，而不具有物理意义，其实也只是数学游戏而已，或者说是数学技
巧而已。积分来积分去，只是形式的积分，只是技巧的提高。

只有两边不是恒等式时，才是本质，这类的积分一定涉及具体的物理原
理、工程原理。有时为了简化积分，可以对两侧做恒等变换，然后积分，
数学教师的那种恒等式的积分，只有在这种情况下，才能有价值。

所以，物理意义的体现，第一体现在积分前的方程上，而不是等式上。

第二：不定积分后的常数确定，就是定积分前的下限确定，本质上是统一问题。
定积分的上下限的确定，本身就是物理意义的第二种体现，也就是，某
一初始时刻对应的是什么物理量，终了时刻对应的是什么物理量。这种
对应可能是时间上的对应，也可能是边界上的对应，合起来这类问题就是
常微分方程、偏微分方程的【定解问题】。教常微分方程、偏微分方程的
教授，基本上全是数学系毕业的，他们的共同缺陷是不能精通天文、地质、
气象、水文、海洋、机械、电子、电气、理论物理、理论化学等等等学科，
确定边界条件是他们的集体致命弱点，能确定的只是极少数极少的特例。

在初等数学中，会解方程就万事大吉。可是到了高等数学中，解微分方程，
特别是偏微分方程，必须根据定解条件，才能解答。对于初学高等数学者，
对于初等数学学习者，这是不可思议的事情。由于我们的教学培养出一大
批喜欢雄辩滔滔的学生，他们对新的理论出现时，不是冷静思考，而是条
件反射式的喜欢反驳，这种极不理性的反驳情绪不是个别学生，它不知葬
送了多少学生的前途。可是，我们的教师们本身就做了很多这样的示范与
鼓励。以至于，我们在现代数学、现代科学、现代工程学中，在国际上，
我们都是三流以外的脚色，毫无发言权，所有的理论都是舶来品，我们无
知无觉，我们乐此不疲。

所以，物理意义的体现，第二是体现在定解条件上。而定解条件的体现就
在于定积分的一气呵成上。

附：定解条件的英文是initial-value problem，楼主可以网上搜索。
initial-value problem，表面意译是“初值问题”，这个翻译不算错。
引申翻译就是由初值问题解决常微分方程、偏微分方程的最后的
解，也就是确定最后的解的问题，所以，初值问题的本身含义也
就是定解条件。

I. 1.定积分的几何意义及物理意义

比如求x=a到x=b之间的定积分，几何意义是f（x）与x=a和x=b及x轴之间的面积，物理意义就多了，可以是力做的功，也可以是一定时间内行驶的路程，等等

J. 定积分几何意义是什么定积分可不可能为负值谢谢

像楼上说的是的，定积分的意义很多，可以表示图形的面积，体积，质量 密度等等，和物理联系起来表示的更多，其实求定积分就是求不定积分，然后积分上限减积分下线，所以这样的话定积分可以为负值!我知道的就这么多吧，你自己再看看书理解理解！