两角差的余弦公式教学设计
临近期末,学校进行了一次全面的各学科的备课和作业检查.备课和作业批改是教师日常教学工作的两项重要内容,也是提高教学效益的关键环节.一、语文备课和作业检查情况，语文作业批改种类多,任务繁重,为此,老师们需不断探索更具实效性的备课、有效的作业设计和切实的作业批改形式。二、数学备课和作业检查情况不但注重备教材,还注重备学生.老师需针对不同的学生的实际情况安排练习,对学生反馈问题及时补充说明，为下一阶段的教学服务。
三、英语备课和作业检查情况需教案书写详细,认真,能根据课时计划及时完成教案,教师教学设计中能体现新理念,教案规范,环节清晰,操作性强,
下面,转载如下文章,供各位同仁思忖、交流：————一位中学教师对布置和批改作业的心路历程
对原有作业的批改方法的突破缘自一次反思：我们现在批改作业的方式效果及效率如何?既然语文课堂上可以实施课前三分钟演讲,那么数学课能效仿吗?我望着桌上如山的作业,心想,现在不知还有多少教师会带着愉悦心情去面对每天都要批改的作业,尤其是对于已经做了十多年的数学教师,恐怕多少都有些无奈吧?扪心自问,教师为什么要布置作业给学生?仅仅是出于行为的惯性或教育者的良心去布置作业?教师又为什么要批改作业?是因为作业在那里?这样使自己不得不每天加班加点批改,其效果又有多少?不禁赫然,我到底什么时候是在认真想过这个问题?是不是人们往往对自己非常熟悉的一件事缺少自省的意识和愿望?还是从布置作业的目的入手吧,那么教师学生布置作业的目的是什么呢?是反馈学生掌握所学内容的情况,让教师及时采取相应措施；是让学生巩固所学的内容,加深其理解和掌握；还有其他目的吗?还有能让学生能够做到举一反三,当然最好能够运用所学内容用数学的视角去理解我们周围的世界,这就是所谓的培养学生的数学素养吧.可是,原有的做法能够很好的实现这些愿望吗?很难!教师要能够及时地批改作业首先就是一件比较困难的事,即使能够及时批改完作业,发下去的作业本,有多少学生能够及时关注?即使他们关注了作业中出现的问题,也做了相应地修改,再反馈到教师那里的时候,已经是几天以后的事了,如果学生在改错时又出现了新的错误呢?可见这种方式的效率是比较低下的.脑子里突然想起了刚走上讲台时,我的业务师傅在教研组集体备课时曾经感慨道：如果谁能在布置作业和批改作业这个环节能够有所改变并且效果不打折扣,那对数学教师而言,真是一件功德无量的事…….当时我还不以为然,这么多年来所有的数学教师不都是这样过来的吗?数学教师每天批改作业,是很辛苦,可这不是天经地义的事吗?如能有什么改变,不早改变了?当初,我认为数学教师如要做到每天坚持批改作业,责任心是唯一的支柱.可是此时,我觉得我是应该有所改变了……可我到底该从那儿入手呢?回忆一下自己,改作业时什么样的做法最有效?当然是当着学生的面批改作业,因为这种方式反馈最及时和准确,但这种方式不可能做到长期坚持下去,毕竟每个教师每天都要面临上百个孩子的作业啊.突破口到底在哪儿?这个问题就一直困扰着我好一段时间.直到有一天,上课的预备铃响了,尽管这节不是我的数学课,但多年做班主任所养成的习惯让我走到教室旁边看看学生们上课的情况,这节是语文课,孩子们很专注地望着讲台,讲台上站着一位学生,正在做课前三分钟演讲,语文课前三分钟演讲一直我校语文教学的一个传统.讲台上的学生声情并茂地讲完后,台下除了给予掌声予以鼓励外,还有学生站起来针对演讲的内容提出自己的观点……课堂除了气氛活跃,也显得比较有深度.突然,心里一动,既然语文课上可以实施课前三分钟演讲,那么数学课上为什么不可以实施让学生课前花若干分钟进行作业讲评呢?上面是我七年前对于布置作业和批改的一段真实的心理体验,至今仍记忆犹新.之所以印象如此深刻,是因为这段经历改变了我对批改作业进而是布置作业的做法.
“课前五分钟作业自主讲评法”的具体内涵经过这些年的实践,这种批改作业的方法比较容易操作和实施,也就容易坚持下来,笔者给这种方法命了一个名字,那就是“课前五分钟作业自主讲评法”.即利用课前五分钟时间,当场随机选出若干位学生（人数视前一天作业数量而定,一般是有几题就选几人）把自己对该题的思考过程、解题思路、注意事项讲出来,再由其他同学评议或提供其他做法,教师做补充或评价的作业批改方法.另外,由于受时间的制约,对于其他无法在短暂课堂上交流的学生,让他们在教室里的留言板上给出他们的做法.随机,是为了保证学生人人参与,一般是通过我让学生所做的随机选号器来完成；五分钟,是常态下的数学课能够拿出来的时间,这样一般不会对后面这节课的教学造成负面影响；讲思考过程,是为了暴露学生的思维过程,既让教师掌握该生掌握所学内容的情况,同时也让该生本人和其他学生“知其然,也知其所以然”.讲解题思路,是在时间比较紧张的情况下,比较节省时间的一种做法,但必须以同伴明白为前提；讲注意事项,既是为了让学生本人能够对自己所做的工作有一个反思的过程,同时也体现了同伴互助；教师做补充或评价,一般来说,对于常规一点的问题,学生都可能讲评得很好,所以教师不必在每个学生讲后都要进行补充,至于评价,一般鼓励性的话语作用不是太大,宜少讲,如果能够把学生所讲的升华之、拓展之,可能对学生帮助会更大一些；自主,是指以学生为讲评作业的主体.后来在讲评环节,笔者还不断引导和鼓励学生讲出出题者的用意,这对优秀学生而言是一个要求更高的引导,也是有益有的一个尝试.
几年过去,收效体现在以下几个方面：反馈及时,通过课前五分钟的学生作业讲评,上交的作业一般不会出现大的问题,这样师在检查时所花的时间将大大下降,并且在检查时教师的主要精力放在以下三个方面：一是帮助剩下的几个在作业遇到困难的学生,对这几个学生的作业实行面批；二是对在作业中有精彩表现的学生予以鼓励,三是及时掌控了学生思维方式,从中了解学生对知识的掌握情况及学习中的难点,并及时给予点拨,这种做法远远比常规作业的批改要有效得多.学生表达和理解能力有所增强,有经验的数学教师都明白,学生会做题与会讲题是两个不同的层次,通过一段时间的实践,学生语无伦次的表达少了,有条理,思路清晰的讲解多了,甚至不少时候我发觉学生讲得比教师还精彩.为学生创设了一个交流平台,给每个学生提供了一个平等“话语权”的机会和展示自我的空间.最重要的是改善了学生的思维品质,特别是对学生的批判性、灵活性等思维品质的培养,起到了比较好的效果,学生不仅对概念的理解加深了,同时在知识的广度和深度上都得到了不同程度上的提高.每天短短的几分钟时间,孩子们浅层次的参与附和少了,有深度的质疑或见解多了：“我在作业完成一半的时候突然明白了老师为什么要我们证明推论三：过两条平行直线有且只有一个平面.他是想让我们在面对一个数学概念时,必须准确把握这个概念的内涵,否则就会走弯路.正如对于平行直线这个概念,我们往往会忽略这两条直线是在同一个平面内这个前提.当然对数学概念如此,对其他概念我们也要准确把握才行.”“做完这次作业后,我终于明白什么是性质啦!那就是某类对象它们共同所具有的不变的特征.”“这次作业让我对公式有了一个全新的认识,公式揭示了量与量之间的等量关系,如果一开始我就明白这一点,那么在推证两角和的余弦公式时,我的思路就会顺畅多了,并且不只有一种方法!”“韦召昭刚才在证明这个不等式时,没有象我们那样受思维定势的束缚,我们都是用刚学到的数学归纳法去证明的,而他却是直接用放缩法予以证明,过程简洁多了,我觉得韦召昭同学这种灵活的思维方式让我很受启发.”“刚才小樊同学对韦召昭的点评也是我的心里话,同时我觉得徐老师如果当初在布置作业时,能够再布置一道不可能用数学归纳法解决的题目,那么对大家灵活运用知识的能力会更有好处.”每当此时看着孩子们的表现,心里真的希望自己能够多做几年数学教师.同时他们的表现也催生了我对下一个问题的思考.
让我们在“课前五分钟作业自主讲评法”的基础上走得再远一点：让学生参与作业的布置就在自己开始对上述的工作比较自鸣得意的时候,心里一个声音不断在提醒自己：“别忘记了学生需要的是一位有自知之明的教师,因为当一个教师对自己的工作开始沾沾自喜的时候,也就是你的工作开始出现问题的时候”.（详见本人另外一篇文章《教育,需要五个学会》）
无庸质疑,上述做法,尽管可以收到种种好的效果,但是布置作业这个环节上,仍是单纯由教师布置作业让学生完成,这样既让学生在作业的内容上无法选择,只能被动接受任务,同时教师也无法及时了解学生在学了相关内容后他们到底在关注什么.同时,孩子们在课堂上的话语也促使我对作业布置这个环节做了一定的改进,即让学生参与布置作业,这一措施对优秀学生的培养有很好的帮助,目前这一做法还有待于完善.【片段一】 2003年,在学完了圆锥曲线之后,我让学生布置一道与之有关的作业,结果让我大吃一惊：“把一根火腿肠斜截成两段,你认为截面是什么图形?请论证你的结论.”这分明是一个研究性学习的问题嘛!学生们在解决这个问题的过程中,还发现了椭圆与圆的关系,由此写出了一篇数学小论文《椭圆与圆》,这篇数学小论文在由《数学通讯》组织的全国中学生数学小论文竞赛取得了比较好的成绩.这段经历,既坚定了我把研究性学习渗透到学科教学中去的信心.同时也坚定了我把作业分为常规作业（需每天上交）、数学周记和数学小论文等几种形式的做法.（详见本人的另一篇文章《我的研究性学习》）【片段二】2005年底,笔者在桂林参加了一个多月的培训,这期间做了一个大胆的尝试,即在这一个多月的时间不找人来代课,而是先制定好这一个月的学习计划并告诉我的学生,同时在每个班指定几位同学来负责该学习计划的完成,每周让专人通过短信或邮件向我汇报.由于已经实施了一段时间的学生参与布置作业和“课前五分钟学生自主作业讲评法”,学生们对于要自己在没有教师进课的情境下自主学习并没有感到什么不可思议,一个多月下来,没有出什么乱子,尽管这一个多月我过得有些提心吊胆,心里仍十分感激我这一百多位孩子的家长们的信任,同时也十分感激我所在学校广西南宁二中校长叶弥坚先生的理解和支持.
国内相关研究状况当今中学里,在布置和批改作业这一不可或缺的数学教学环节,国内似乎还没有太多的让人耳目一新的成果,给笔者印象深刻的有：华东师大学者熊川武先生提出的“零作业批改”（《论中学教师“零作业批改”》中国教育学刊2007年第5期P52---P54）.所谓“零作业批改”,即教师把作业批阅权归还给学生,把自己用于批阅作业的时间转移到研究学生作业中出现的问题并加强个别指导上.实施“零作业批改”的基本环节是：对学生进行简短培训——在课堂上互批作业——学生各自标记“作业问题”——教师抽查作业并做问题记录——师生对学习问题实行双重跟踪.熊川武先生的研究结论是：实施“零作业批改”,有利于学生学会学习；可促进教师“质性”敬业；能丰富中学教育的人文和科学价值.具体地说可达到以下四个方面的效果：(一)工作负担减轻,教学质量提高；(二)师生关系改善,学生尊师好学；(三)教师和学生焦虑度得以缓解；(四)学差生普遍进步,优生更优.根据笔者的教学经历,我个人认为,要能够真正实施“零作业批改”,对教师课堂管理的能力要求非常高,尤其对时间的控制不太好把握.同时也还没有脱离“教师布置,由学生完成”这种模式.北大附中张思明先生在“课题学习”中所使用的“长周期作业”形式.张思明先生在组织学生进行“研究性学习”方面做了卓有成效的工作,从他布置给学生完成的作业题目便可“窥一斑而可见全豹”：“测量问题（建模与小组活动）”；“电视塔问题（建模与探究）”；“粮食堆求重量的问题（建模、探究、实验）”；“年历表引发的问题（探究）”；“正切函数的图象和性质（探究）”；“计算器中的发现（实验与发现）”；“折纸的发现（实验与探究）”；“菲数列的联想（自主阅读与探究）”；“我们的东教学楼有多高?”……这些作业,他首先让学生填写“课题研究报告”,然后再利用课上时间组织学生交流.笔者十分钦佩张先生能够拿出自己大量的数学课来完成这些工作的勇气和底气,这可不是一般人都能做得到的事情.
结语：在我对让学生参与作业的布置和实施“课前五分钟作业自主讲评法”津津乐道的时候,一个声音在反问我：存在布置和批改作业的最佳方法吗?在文章即将要结束的时候,可能读者会不由自主地替笔者产生了一个新的忧虑：在我一再强调布置和批改作业的方式的时候,是否会冲淡让学生完成作业的实质?毕竟就作业而言,内容要远比操作的方式重要啊!可喜的是,我发现,在一个充满质疑、开放、合作的氛围中,我所实施的布置作业和批改方式与学生所完成作业的内容是相辅相成的,当然,前提是需要教师对所教材料有深刻的理解和恰当的处理.（详见本人另一篇文章《数学课可以走多远——教材的简约性与学生思维批判性的培养》已收录在《数学通报》2009年第7期）尽管我的做法已经实施了若干年,但我仍然无法回答这样一个问题：这种方式是不是对我下一届的学生继续有效?在我对让学生参与作业的布置和实施“课前五分钟作业自主讲评法”津津乐道的时候,一个声音在反问我：存在布置和批改作业的最佳方法吗?我想,仅凭这一个问题就足以让我从激动中冷静下来.帕克·帕尔默（Parker J.Palmer）的《教学勇气》一书封底的一句话深深打动着我：优秀教学不能降格为技术,优秀教学源自于教师自我认同和自我完善.说句心里话,如果可能,我最愿意做的还是尽可能多一点抽时间出来当着学生的面批改作业,因为这是我最向往的与学生进行交流的形式,也是一种让我觉得自然而有效的方式.我思故我在.